Vi faktoriserer $f(x)$ ved å sette $x$ utenfor parentes:

Vi legger merke til at $x^2-2bx+b^2={(x-b)}^2$, slik at andrefaktoren kan skrives som et fullstendig kvadrat pluss et positivt tall:

Siden ${(x-b)}^2\ge 0$ for alle reelle $x$, er

for alle $x$, uansett hvilken verdi $b$ har. Denne faktoren kan altså aldri bli null. Da må $f(x)=0$ komme fra den andre faktoren, $x=0$. Dermed har $f$ bare ett nullpunkt, $x=0$, og dette er uavhengig av $b$.

Vi deriverer $f$:

For at grafen til $f$ skal ha både toppunkt og bunnpunkt, må $f^{\prime }(x)=0$ ha to forskjellige løsninger (ett null­punkt for $f^{\prime }$ gir toppunkt, det andre gir bunnpunkt). Det krever at diskriminanten til andregradslikningen $f^{\prime }(x)=0$ er positiv:

Vi krever $d>0$:

Dette gir $b<-3$ eller $b>3$.

$\underline{\underline{b<-3\text{ eller }b>3}}$

Vi undersøker differansen mellom $f(x)$ og linja $y=3x$:

Vi faktoriserer ut $x$:

Uttrykket $f(x)-3x$ er null for $x=0$ og for $x=b$, der $x=b$ er en dobbel rot (kvadratet ${(x-b)}^2$). En dobbel rot betyr at $f(x)-3x$ ikke skifter fortegn ved $x=b$ — grafen til $f$ og linja $y=3x$ møtes uten å krysse hverandre der. Det er nettopp definisjonen på at grafen tangerer linja, og dette gjelder for enhver verdi av $b$.

Vi finner koordinatene til tangeringspunktet. Siden $f(x)-3x=0$ for $x=b$, er $f(b)=3b$. Tangeringspunktet er altså

Som en kontroll kan vi sjekke at stigningstallet til $f$ i $x=b$ er det samme som stigningstallet til linja, $3$:

Dette stemmer med stigningstallet til $y=3x$, som bekrefter tangeringen.

$\underline{\underline{(b,3b)}}$

(For $b=0$ faller tangeringspunktet sammen med origo, som også er nullpunktet fra a).