Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 2 b \cdot x^{2} + (b^{2} + 3) \cdot x der b \in ℝ

For hånd

Vis at $f$ bare har ett nullpunkt uavhengig av verdien av $b$ .

For hånd

Løs likningen $f^{'} (x) = 0$ . For hvilke verdier av $b$ har grafen til $f$ bare ett stasjonært punkt?

Dersom $b \neq 0$ har grafen til $f$ to tangenter med stigningstall 3.

For hånd

Bestem likningene for disse tangentene.

Fasit

$f (x) = x ((x - b)^{2} + 3) = 0$ kun for $x = 0$ siden ${(x - b)}^{2} + 3 \geq 3 > 0$

$x = \frac{2 b \pm \sqrt{b^{2} - 9}}{3}$ . Bare ett stasjonært punkt når $- 3 \leq b \leq 3$ .

$y = 3 x$ og $y = 3 x + \frac{4}{27} b^{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi faktoriserer $f (x)$ :

f (x) = x^{3} - 2 b x^{2} + (b^{2} + 3) x = x (x^{2} - 2 b x + b^{2} + 3)

Vi skriver om andregradsleddet ved å fullføre kvadratet:

x^{2} - 2 b x + b^{2} + 3 = {(x - b)}^{2} + 3

Dermed er

f (x) = x ((x - b)^{2} + 3)

Siden ${(x - b)}^{2} \geq 0$ for alle reelle $x$ , er ${(x - b)}^{2} + 3 \geq 3 > 0$ for alle $b \in ℝ$ .

Produktet $f (x) = 0$ krever dermed at $x = 0$ . $f$ har altså bare ett nullpunkt, $x = 0$ , uavhengig av verdien til $b$ .

Vi deriverer $f$ :

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 b x + b^{2} + 3

Vi løser $f^{'} (x) = 0$ med GeoGebra CAS (se linje 4 i CAS-utklippet):

x = \frac{2 b \pm \sqrt{b^{2} - 9}}{3}

Grafen har to stasjonære punkter når likningen har to løsninger, dvs. når diskriminanten er positiv:

b^{2} - 9 > 0 ⟹ | b | > 3

Grafen til $f$ har bare ett stasjonært punkt når $- 3 \leq b \leq 3$ .

(For $b = \pm 3$ er diskriminanten lik null — det er ett stasjonært punkt som er et vendepunkt.)

Vi finner $x$ -verdiene der $f^{'} (x) = 3$ med GeoGebra CAS (linje 5):

f^{'} (x) = 3 ⟹ x = b eller x = \frac{b}{3}

Tangent i $x = b$ :

Fra CAS (linje 6): $f (b) = 3 b$ . Tangentlikningen blir:

y = f (b) + 3 (x - b) = 3 b + 3 x - 3 b = 3 x

Tangent i $x = \frac{b}{3}$ :

Fra CAS (linje 7): $f (\frac{b}{3}) = \frac{4}{27} b^{3} + b$ . Tangentlikningen blir:

y = \frac{4}{27} b^{3} + b + 3 (x - \frac{b}{3}) = \frac{4}{27} b^{3} + b + 3 x - b = \frac{4}{27} b^{3} + 3 x

De to tangentene med stigningstall 3 har likningene:

y = 3 x og y = 3 x + \frac{4}{27} b^{3}

GeoGebra CAS (linje 1–9):

GeoGebra CAS-utklipp

Illustrasjon for $b = 2$ (tangentpunkter ved $P_{1} = (\frac{2}{3}, \frac{86}{27})$ og $P_{2} = (2, 6)$ ):

Graf av f og de to tangentene med stigningstall 3 (b=2)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som løser likningen, men ikke tolker løsningen riktig, får 1 poeng. En kandidat som bare finner én verdi for $b$ , får 2 poeng.

En kandidat som bare finner $x$ -verdiene til tangeringspunktene, får 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2022, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Tredjegradsfunksjon, Derivasjon, Tangent, Argumentasjon
Kompetansemål: Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte

Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter

Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer