Vi faktoriserer $f(x)$ ved å sette $x$ utenfor parentes:

Uttrykket i parentesen er et fullstendig kvadrat, $x^2-4x+4={(x-2)}^2$, slik at

Nullpunktene finner vi ved å sette hver faktor lik null:

Grafen til $f$ har altså nullpunkter i $\underline{\underline{x=0\text{ og }x=2}}$.

I $x=2$ opptrer faktoren $(x-2)$ i andre potens (dobbel rot). Det betyr at $f(x)\ge 0$ på begge sider av $x=2$ (faktoren ${(x-2)}^2$ er aldri negativ, og $x>0$ nær $x=2$), slik at grafen ikke skifter fortegn der. Dette er nettopp kjennetegnet på at grafen tangerer $x$-aksen i $x=2$, i stedet for å skjære den.

Vi deriverer $f$:

Nullpunktene til $f^{\prime }$ finner vi med abc-formelen (bekreftet med CAS, se r1-h11-2-2-cas2.png):

Siden $f^{\prime }$ er en oppoverbøyd parabel (positiv ledende koeffisient), er $f^{\prime }(x)>0$ utenfor røttene og $f^{\prime }(x)<0$ mellom røttene. Fortegnslinjen til $f^{\prime }$ på $⟨-1,3⟩$ blir da:

Dette gir toppunkt i $x=\frac{2}{3}$ og bunnpunkt i $x=2$. Vi regner ut funksjonsverdiene:

Grafen til $f$ har altså toppunkt $\underline{\underline{(\frac{2}{3},\frac{32}{27})}}$ og bunnpunkt $\underline{\underline{(2,0)}}$.

Vi deriverer $f^{\prime }$ for å finne $f^{\prime \prime }$:

Nullpunktet til $f^{\prime \prime }$ er

Siden $f^{\prime \prime }$ er en rett linje med positiv stigning, er $f^{\prime \prime }(x)<0$ for $x<\frac{4}{3}$ og $f^{\prime \prime }(x)>0$ for $x>\frac{4}{3}$:

Funksjonsverdien i vendepunktet er

Grafen til $f$ har altså vendepunkt i $\underline{\underline{(\frac{4}{3},\frac{16}{27})}}$.

Alle deriverte og nullpunkter over er bekreftet med CAS, se skjermbildet under.

Vi trenger $f(1)$ og $f^{\prime }(1)$. Fra $f(x)=x^3-4x^2+4x$ og $f^{\prime }(x)=3x^2-8x+4$:

Tangentlikningen i punktet $P(1,f(1))=P(\mathrm{1,1})$ er gitt ved $y=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)$:

Vi har dermed vist at tangenten i $P$ er $\underline{\underline{y=-x+2}}$.

Grafen til $f$ (grønn) og tangenten $t(x)=-x+2$ (rød) er tegnet i GeoGebra, med $P(\mathrm{1,1})$ og $Q(\mathrm{2,0})$ markert:

Skjæringspunktene mellom $f$ og tangenten $t$ finner vi ved å løse $f(x)=t(x)$:

Vi flytter alt over på venstre side:

Dette er likningen som skal løses for å finne $x$-verdien til $Q$.

Siden $P(\mathrm{1,1})$ er et tangeringspunkt, må $x=1$ være en dobbeltrot i likningen. CAS gir faktoriseringen (se r1-h11-2-2-cas.png)

med løsninger $x=1$ (dobbel, svarer til $P$) og $x=2$ (svarer til $Q$). Vi setter $x=2$ inn i $f$ (eller $t$):

Skjæringspunktet er dermed $\underline{\underline{Q(2,0)}}$ — som vi kjenner igjen som nullpunktet der grafen tangerer $x$-aksen fra a).