Tre tangerende kuler i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (1, - 1, 0)$ , $B (1, 2, 4)$ og $C (5, 1, - 4)$ er sentrum i hver sin kuleflate. De tre kuleflatene tangerer hverandre.

Bestem radien til hver av de tre kulene.

Fasit

$r_{A} = 1, r_{B} = 4, r_{C} = 5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaller radiene til kulene med sentrum i $A$ , $B$ og $C$ for henholdsvis $r_{A}$ , $r_{B}$ og $r_{C}$ . Siden kuleflatene tangerer hverandre utvendig, er avstanden mellom to sentrum lik summen av de tilhørende radiene.

Vi finner avstandene mellom sentrene:

| A B | = \sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(2 - (- 1))}^{2} + {(4 - 0)}^{2}} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5

| A C | = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(1 - (- 1))}^{2} + {(- 4 - 0)}^{2}} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6

| B C | = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(1 - 2)}^{2} + {(- 4 - 4)}^{2}} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9

Dette gir likningssystemet

{\begin{matrix} r_{A} + r_{B} = 5 \\ r_{A} + r_{C} = 6 \\ r_{B} + r_{C} = 9 \end{matrix}

Vi legger sammen alle tre likningene:

2 (r_{A} + r_{B} + r_{C}) = 5 + 6 + 9 = 20

r_{A} + r_{B} + r_{C} = 10

Vi trekker fra hver av de tre opprinnelige likningene for å finne radiene:

r_{C} = 10 - (r_{A} + r_{B}) = 10 - 5 = 5

r_{B} = 10 - (r_{A} + r_{C}) = 10 - 6 = 4

r_{A} = 10 - (r_{B} + r_{C}) = 10 - 9 = 1

r_{A} = 1, r_{B} = 4, r_{C} = 5

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2019, del 1, oppgave 9
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Romgeometri, Vektorer

Tre tangerende kuler i rommet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tre tangerende kuler i rommet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tre tangerende kuler i rommet

Tre tangerende kuler i rommet

Lov på eksamen

Temaer