Tre punkter på linje og rettvinklet trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt tre punkter $A (3, 4)$ , $B (- 1, - 2)$ og $C (3 + t, 2 t)$ der $t \in ℝ$ .

Bestem $t$ slik at punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje.

Bestem $t$ slik at punktene $A$ , $B$ og $C$ danner en trekant slik at $∠ C = 90 °$ .

Fasit

$t = 8$

$t = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne $t$ slik at $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje. Det skjer når vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ er parallelle.

Vi regner ut vektorene:

\begin{matrix} \vec{A B} & = B - A = (- 1 - 3, - 2 - 4) = (- 4, - 6) \\ \vec{A C} & = C - A = (3 + t - 3, 2 t - 4) = (t, 2 t - 4) \end{matrix}

To vektorer $(a_{1}, a_{2})$ og $(b_{1}, b_{2})$ er parallelle når $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ (determinanten er null):

\begin{matrix} (- 4) (2 t - 4) - (- 6) (t) & = 0 \\ - 8 t + 16 + 6 t & = 0 \\ - 2 t + 16 & = 0 \\ t & = 8 \end{matrix}

$t = 8$

Vi skal finne $t$ slik at $∠ C = 90 °$ . Det betyr at vektorene $\vec{C A}$ og $\vec{C B}$ er ortogonale, det vil si at prikkproduktet $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 0$ .

Vi regner ut vektorene:

\begin{matrix} \vec{C A} & = A - C = (3 - (3 + t), 4 - 2 t) = (- t, 4 - 2 t) \\ \vec{C B} & = B - C = (- 1 - (3 + t), - 2 - 2 t) = (- 4 - t, - 2 - 2 t) \end{matrix}

Vi beregner prikkproduktet steg for steg:

\begin{matrix} \vec{C A} \cdot \vec{C B} & = (- t) (- 4 - t) + (4 - 2 t) (- 2 - 2 t) \\ = 4 t + t^{2} + (- 8 - 8 t + 4 t + 4 t^{2}) \\ = 4 t + t^{2} - 8 - 4 t + 4 t^{2} \\ = 5 t^{2} - 8 \end{matrix}

Vi setter prikkproduktet lik null:

\begin{matrix} 5 t^{2} - 8 & = 0 \\ t^{2} & = \frac{8}{5} \\ t & = \pm \sqrt{\frac{8}{5}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{5} = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5} \end{matrix}

$t = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En riktig strategi, men med feil svar, kan gi 1 poeng.

Det kan gis full uttelling for bare en verdi av $t$ , hvis løsningen ellers er godt presentert.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2024, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri, Likninger
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Tre punkter på linje og rettvinklet trekant

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tre punkter på linje og rettvinklet trekant

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tre punkter på linje og rettvinklet trekant

Tre punkter på linje og rettvinklet trekant

Lov på eksamen

Temaer