Tre plan i rommet og pyramide

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har tre plan $α$ , $β$ og $γ$ gitt ved likningene

α : 2 x - 2 y - z = 4

β : 2 x + y - z = - 2

γ : 3 y + 2 z = 6

Disse tre planene skjærer hverandre i et punkt $P$ .

Kalkulator

Bestem koordinatene til punktet $P$ .

En pyramide er avgrenset av de tre planene sammen med $x y$ -planet.

Kalkulator

Bestem volumet av pyramiden som er avgrenset av disse fire planene.

Fasit

$P (3, - 2, 6)$

$V = 24$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser likningssystemet

{\begin{matrix} 2 x - 2 y - z = 4 \\ 2 x + y - z = - 2 \\ 3 y + 2 z = 6 \end{matrix}

i CAS med kommandoen Løs({2x-2y-z=4, 2x+y-z=-2, 3y+2z=6}, {x,y,z}), se utklippet.

Løsning av likningssystem, areal og volum

Dette gir $x = 3$ , $y = - 2$ og $z = 6$ , altså

P (3, - 2, 6)

Grunnflaten til pyramiden ligger i $x y$ -planet, altså der $z = 0$ . Setter vi $z = 0$ inn i likningene for de tre planene, blir de tre planene til tre linjer i $x y$ -planet:

α : 2 x - 2 y = 4 \Rightarrow x - y = 2

β : 2 x + y = - 2

γ : 3 y = 6 \Rightarrow y = 2

Disse tre linjene avgrenser en trekant som er grunnflaten i pyramiden. Skjæringspunktene mellom linjene, altså hjørnene i trekanten, blir

α \cap β : (0, - 2), α \cap γ : (4, 2), β \cap γ : (- 2, 2)

Arealet av trekanten med hjørner $A (0, - 2)$ , $B (4,2)$ og $C (- 2,2)$ finner vi med arealformelen (halve absoluttverdien av kryssproduktet), som vist i CAS-utklippet over:

G = \frac{1}{2} | x_{A} (y_{B} - y_{C}) + x_{B} (y_{C} - y_{A}) + x_{C} (y_{A} - y_{B}) | = 12

Høyden i pyramiden er den vinkelrette avstanden fra toppunktet $P$ ned til grunnflaten i $x y$ -planet. Siden grunnflaten ligger i $x y$ -planet, er høyden lik $z$ -koordinaten til $P$ , altså $h = 6$ .

Volumet av pyramiden blir da

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 6 = 24

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2019, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Romgeometri, Likningssystem, Volum

Tre plan i rommet og pyramide

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tre plan i rommet og pyramide

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tre plan i rommet og pyramide

Tre plan i rommet og pyramide

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer