Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Bestem integralene:

\int x^{2} + 3 + e^{2 x} d x

\int 6 x \cdot \sin (x^{2}) d x

\int_{1}^{e} x \cdot \ln x d x

Fasit

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

$- 3 \cos (x^{2}) + C$

$\frac{e^{2} + 1}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi integrerer ledd for ledd.

\int x^{2} + 3 + e^{2 x} d x = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C

Vi bruker substitusjon $u = x^{2}$ , som gir $d u = 2 x d x$ , altså $6 x d x = 3 d u$ .

\int 6 x \cdot \sin (x^{2}) d x = \int 3 \sin (u) d u = - 3 \cos (u) + C = - 3 \cos (x^{2}) + C

Vi bruker delvis integrasjon $\int u v^{'} d x = u v - \int u^{'} v d x$ med $u = \ln x$ og $v^{'} = x$ , slik at $u^{'} = \frac{1}{x}$ og $v = \frac{x^{2}}{2}$ .

\int_{1}^{e} x \ln x d x = {[\frac{x^{2}}{2} \ln x]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = {[\frac{x^{2}}{2} \ln x]}_{1}^{e} - \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x

= (\frac{e^{2}}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0) - \frac{1}{2} {[\frac{x^{2}}{2}]}_{1}^{e} = \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2} + 1}{4}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2020, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Substitusjon, Delvis integrasjon

Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Lov på eksamen

Temaer