Tre integraler med partialbrøk og delvis integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut integralene

\int_{1}^{2} (x^{2} + 2 x - 3) d x

\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x

\int x \cdot \ln x d x

Fasit

$\frac{7}{3}$

$2 \ln | x - 2 | + \ln | x + 1 | + C$

$\frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4} + C$

LøsningsforslagKI-generert

\int_{1}^{2} (x^{2} + 2 x - 3) d x

Vi finner en antiderivert og bruker fundamentalteoremet:

{[\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x]}_{1}^{2}

Vi setter inn grensene:

(\frac{8}{3} + 4 - 6) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = \frac{2}{3} - (- \frac{5}{3}) = \frac{7}{3}

\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x

Vi faktoriserer nevneren: $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)$ , og setter opp partialbrøkoppspalting:

\frac{3 x}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}

Vi multipliserer med $(x - 2) (x + 1)$ :

3 x = A (x + 1) + B (x - 2)

Setter $x = 2$ : $6 = 3 A \Rightarrow A = 2$ .

Setter $x = - 1$ : $- 3 = - 3 B \Rightarrow B = 1$ .

Dermed er

\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x = \int (\frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1}) d x = 2 \ln | x - 2 | + \ln | x + 1 | + C

\int x \cdot \ln x d x

Vi bruker delvis integrasjon med $u = \ln x$ og $d v = x d x$ , slik at $d u = \frac{1}{x} d x$ og $v = \frac{x^{2}}{2}$ :

\int x \ln x d x = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} d x

= \frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4} + C

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

og c) Dersom integrasjonskonstanten utelates, gis ikke full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2015, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Delvis integrasjon

Innstillinger