Topp- og bunnpunkt og ulikhet for x i tredje minus 14x pluss 15

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = x^{3} - 14 x + 15

Grafen til f

Bestem eksakte verdier for $x$ -koordinatene til toppunktet og til bunnpunktet.

Løs ulikheten $f (x) > 0$ eksakt.

Fasit

Toppunkt for $x = - \frac{\sqrt{42}}{3}$ , bunnpunkt for $x = \frac{\sqrt{42}}{3}$

$x \in ⟨ \frac{- 3 - \sqrt{29}}{2}, \frac{- 3 + \sqrt{29}}{2} ⟩ \cup ⟨ 3, \infty ⟩$

LøsningsforslagKI-generert

Topp- og bunnpunkt til $f$ finner vi der den deriverte er null.

f (x) = x^{3} - 14 x + 15 f^{'} (x) = 3 x^{2} - 14

Vi setter $f^{'} (x) = 0$ :

\begin{matrix} 3 x^{2} - 14 & = 0 \\ x^{2} & = \frac{14}{3} \\ x & = \pm \sqrt{\frac{14}{3}} = \pm \frac{\sqrt{42}}{3} \end{matrix}

Siden $f^{''} (x) = 6 x$ , er $f^{''} (- \frac{\sqrt{42}}{3}) < 0$ (toppunkt) og $f^{''} (\frac{\sqrt{42}}{3}) > 0$ (bunnpunkt). Dette stemmer med grafen, der toppunktet ligger omtrent ved $x \approx - 2,16$ og bunnpunktet ved $x \approx 2,16$ .

x_{topp} = - \frac{\sqrt{42}}{3} x_{bunn} = \frac{\sqrt{42}}{3}

Av grafen ser vi at $f (3) = 0$ , så $(x - 3)$ er en faktor i $f (x)$ . Vi utfører polynomdivisjon:

(x^{3} - 14 x + 15) \div (x - 3) = x^{2} + 3 x - 5

Kontroll: $(x - 3) (x^{2} + 3 x - 5) = x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 3 x^{2} - 9 x + 15 = x^{3} - 14 x + 15$ . ✓

Vi finner de resterende nullpunktene med abc-formelen på $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ :

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2}

Dermed har $f$ tre nullpunkter:

x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{29}}{2} \approx - 4,19 x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{29}}{2} \approx 1,19 x_{3} = 3

Siden $f$ er et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient og tre enkle nullpunkter, veksler fortegnet til $f$ i hvert nullpunkt: $f$ er negativ for $x < x_{1}$ , positiv mellom $x_{1}$ og $x_{2}$ , negativ mellom $x_{2}$ og $x_{3}$ , og positiv for $x > x_{3}$ . Dette stemmer med grafen.

f (x) > 0 for x \in ⟨ \frac{- 3 - \sqrt{29}}{2}, \frac{- 3 + \sqrt{29}}{2} ⟩ \cup ⟨ 3, \infty ⟩

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2021, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Polynomdivisjon, Ulikheter

Topp- og bunnpunkt og ulikhet for x i tredje minus 14x pluss 15

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Topp- og bunnpunkt og ulikhet for x i tredje minus 14x pluss 15

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Topp- og bunnpunkt og ulikhet for x i tredje minus 14x pluss 15

Topp- og bunnpunkt og ulikhet for x i tredje minus 14x pluss 15

Lov på eksamen

Temaer