Vi deriverer $f$ med kvotientregelen:

For et topp- eller bunnpunkt må $f^{\prime }(x)=0$, dvs.

Siden $e^x>0$ for alle $x$, krever dette $C=0$. Men hvis $C=0$ er $f(x)=\frac{e^x}{e^x}=1$ (konstant), og det finnes heller ingen ekstremalverdi i vanlig forstand.

For $C\ne 0$ har $f^{\prime }(x)=0$ ingen løsning. Grafen til $f$ har ingen topp- eller bunnpunkt for noen verdi av $C$.

Vi deriverer $f^{\prime }(x)$ på nytt. Med $f^{\prime }(x)=C{e}^x{(e^x+C)}^{-2}$ bruker vi produktregelen:

For vendepunkt setter vi $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Siden $e^x>0$ gir dette enten $C=0$ (ingen interessant tilfelle) eller $C-e^x=0$, dvs.

Dette krever $C>0$ (siden $\ln C$ bare er definert for $C>0$, og $e^x>0$ aldri kan være negativ).

Vi sjekker at fortegnet til $f^{\prime \prime }$ faktisk skifter i $x=\ln C$ når $C>0$:

• For $x<\ln C$: $e^x<C$, så $C-e^x>0$, og $C>0$ gir $f^{\prime \prime }(x)>0$
• For $x>\ln C$: $e^x>C$, så $C-e^x<0$, og $f^{\prime \prime }(x)<0$

Fortegnet skifter, så grafen har et vendepunkt i $x=\ln C$ når $C>0$. For $C\le 0$ finnes ingen vendepunkt.

Vi regner ut $f(x+\ln C)$ for $C>0$:

Altså er $f(x+\ln C)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$, som er $f$ med $C=1$.

Dette betyr at grafen til $f$ er den samme kurven som for $C=1$, men forskjøvet $\ln C$ enheter i negativ $x$-retning (til venstre for $C>1$, til høyre for $0<C<1$). Formen på grafen endres ikke — bare posisjonen langs $x$-aksen.

Nevneren $e^x+C=0$ når $e^x=-C$, dvs. $x=\ln (-C)$. Her er $f$ ikke definert, og grafen har en vertikal asymptote i $x=\ln (-C)$.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{C{e}^x}{{(e^x+C)}^2}}$: telleren $C{e}^x<0$ (siden $C<0$) og nevneren ${(e^x+C)}^2>0$, så $f^{\prime }(x)<0$ overalt der $f$ er definert. Funksjonen er altså strengt avtagende på begge grener.

Når $C$ endres (fortsatt $C<0$), forskyves asymptoten $x=\ln (-C)$ horisontalt — mot høyre når $|C|$ øker. Grafens form (to avtagende grener med vertikal asymptote) er den samme for alle $C<0$.