Tolk og fiks program som finner bunnpunkt

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 2 x^{2} - 9 x - 2

Egil ønsker å lage et program som regner ut koordinatene til bunnpunktet på grafen til $f$ . Han har skrevet koden nedenfor.

def f(x):
    return 2*x**2 - 9*x - 2

def df(x,h):
    return (f(x+h) - f(x))/h

h = 0.001
a = 0

while df(a,h) < 0:
    a = a + 1
    
print("Bunnpunktet er", (a, f(a)))

Programmet gir utskriften Bunnpunktet er (3, -11)

Forklar hvilken strategi Egil har brukt.

Svaret han får, er ikke riktig.

Foreslå en endring i koden som vil gi Egil et riktigere svar.

Fasit

Egil sjekker om grafen synker ved å beregne tilnærmet stigningstall. Løkken stopper ved $a = 3$ , og programmet printer $(3, - 11)$ .

Endre a = a + 1 til a = a + 0.01

Løsningsforslag

Funksjonen df(x, h) beregner et tilnærmet stigningstall (den deriverte) i punktet $x$ :

𝚍𝚏 (a, h) = \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

Egils strategi er å starte i $a = 0$ og flytte seg til høyre i steg på 1. Så lenge df(a, h) < 0 synker grafen — man har altså ikke nådd bunnpunktet ennå. Når stigningstallet ikke lenger er negativt (grafen har sluttet å synke), betyr det at bunnpunktet er passert, og løkken stopper.

Det ekte bunnpunktet ligger i $x = 2,25$ . Siden $a$ øker fra 0 i heltallssteg, er verdiene som testes $a = 0, 1, 2, 3$ . Ved $a = 2$ er df(2, 0.001) $\approx 4 \cdot 2 - 9 = - 1 < 0$ , så løkken fortsetter. Ved $a = 3$ er df(3, 0.001) $\approx 4 \cdot 3 - 9 = 3 > 0$ , og betingelsen df(a, h) < 0 er usann — løkken stopper.

Programmet printer derfor $(3, f (3)) = (3, - 11)$ , selv om det ekte bunnpunktet er $(2,25, - 12,125)$ .

Problemet er at steglengden $1$ er for stor — programmet «hopper over» bunnpunktet. Ved å bruke et mindre steg vil $a$ komme mye nærmere $x = 2,25$ når løkken stopper.

Endre linje 8 fra

    a = a + 1

til

    a = a + 0.01

Da stopper løkken ved $a \approx 2,25$ og programmet printer et bunnpunkt som er langt nærmere det ekte svaret $(𝟐,𝟐𝟓, - 𝟏𝟐,𝟏𝟐𝟓)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidaten trenger ikke å forklare hver linje for å få full uttelling. Kandidater som er upresise i forklaringen kan gi 1 poeng.

Forslag til endring i koden uten begrunnelse, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2023, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Programmering, Derivasjon
Kompetansemål: Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter

Tolk og fiks program som finner bunnpunkt

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tolk og fiks program som finner bunnpunkt

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tolk og fiks program som finner bunnpunkt

Tolk og fiks program som finner bunnpunkt

Lov på eksamen

Temaer