To ortogonale sirkler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To sirkler $c_{1}$ og $c_{2}$ med sentrum i henholdsvis $S_{1}$ og $S_{2}$ er gitt ved

c_{1} : {(x + 5)}^{2} + y^{2} = 80

c_{2} : x^{2} - 10 x + y^{2} + 5 = 0

For hånd

Bestem sentrum og radius i sirklene $c_{1}$ og $c_{2}$ .

La $A$ være et av skjæringspunktene mellom sirklene. Sirklene $c_{1}$ og $c_{2}$ kalles ortogonale dersom $\vec{A S_{1}} ⟂ \vec{A S_{2}}$ . Se skissen nedenfor.

To sirkler med skjæringspunkt A og sentre S₁ og S₂

For hånd

Bestem skjæringspunktene mellom sirklene $c_{1}$ og $c_{2}$ .

For hånd

Undersøk ved å bruke vektorregning om sirklene $c_{1}$ og $c_{2}$ er ortogonale.

Fasit

$S_{1} = (- 5, 0), r_{1} = 4 \sqrt{5} S_{2} = (5, 0), r_{2} = 2 \sqrt{5}$

$(3, 4) og (3, - 4)$

$Ja, sirklene er ortogonale$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver likningen for $c_{1}$ på standardform. Den er allerede på formen ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ :

c_{1} : {(x + 5)}^{2} + y^{2} = 80

Dette gir sentrum $S_{1} = (- 5, 0)$ og radius $r_{1} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$ .

For $c_{2}$ må vi fullføre kvadratet:

x^{2} - 10 x + y^{2} + 5 = 0

(x^{2} - 10 x + 25) + y^{2} = - 5 + 25

{(x - 5)}^{2} + y^{2} = 20

Dette gir sentrum $S_{2} = (5, 0)$ og radius $r_{2} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ .

Skjæringspunktene finner vi ved å løse likningssystemet

{\begin{matrix} {(x + 5)}^{2} + y^{2} = 80 \\ x^{2} - 10 x + y^{2} + 5 = 0 \end{matrix}

Vi løser dette med GeoGebra CAS (Løs):

Løsning av likningssystem og kontroll av ortogonalitet

Dette stemmer med regning for hånd: Ved å utvide $c_{1}$ får vi $x^{2} + y^{2} = 55 - 10 x$ , og fra $c_{2}$ har vi $x^{2} + y^{2} = 10 x - 5$ . Setter vi disse like hverandre:

55 - 10 x = 10 x - 5 \Rightarrow 20 x = 60 \Rightarrow x = 3

Innsatt i $x^{2} + y^{2} = 10 x - 5$ gir $9 + y^{2} = 25$ , altså $y^{2} = 16$ , som gir $y = \pm 4$ .

Skjæringspunktene er dermed $(3,4)$ og $(3, - 4)$ .

Vi velger $A = (3, 4)$ og undersøker om $\vec{A S_{1}} ⟂ \vec{A S_{2}}$ . Sirklene er ortogonale i det ene skjæringspunktet hvis og bare hvis de er det i det andre (av symmetri om $x$ -aksen), så det holder å sjekke ett punkt.

\vec{A S_{1}} = S_{1} - A = (- 5 - 3, 0 - 4) = (- 8, - 4)

\vec{A S_{2}} = S_{2} - A = (5 - 3, 0 - 4) = (2, - 4)

Se skjermbildet i b) der disse vektorene og skalarproduktet er beregnet i CAS.

To vektorer er ortogonale (vinkelrette) dersom skalarproduktet er null:

\vec{A S_{1}} \cdot \vec{A S_{2}} = (- 8) \cdot 2 + (- 4) \cdot (- 4) = - 16 + 16 = 0

Siden skalarproduktet er $0$ , er $\vec{A S_{1}} ⟂ \vec{A S_{2}}$ , og sirklene $c_{1}$ og $c_{2}$ er dermed $ortogonale$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2016, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Sirkel, Geometri, Vektorer, Likningssystem

To ortogonale sirkler

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

To ortogonale sirkler

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

To ortogonale sirkler

To ortogonale sirkler

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer