To biler på kryss og motorvei

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To biler, A og B, kjører på hver sin vei. Posisjonen til bil A er gitt ved $\vec{r_{A}} (t)$ , og posisjonen til bil B er gitt ved $\vec{r_{B}} (t)$ , der

\vec{r_{A}} (t) = [\frac{1}{2} (t - 4), t] og \vec{r_{B}} (t) = [\frac{1}{2} t, \frac{3}{2} (t - \frac{1}{5})] .

Her er $t$ tiden målt i minutter, og avstandene er målt i kilometer.

Kalkulator

Bestem avstanden i luftlinje mellom bilene etter 1 minutt.

En av veiene er en motorvei. Den andre veien er en vei med lavere fartsgrense.

Kalkulator

Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som er på motorveien.

Veiene krysser hverandre i et veikryss.

Kalkulator

Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som kommer til veikrysset først.

Fasit

$\frac{\sqrt{101}}{5} \approx 2,01 km$

$Bil B er på motorveien$ (fart $\approx 94,9 k m / h$ )

$Bil B kommer til veikrysset først$ , 4 minutter før bil A

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til alle beregninger (se utklipp under).

GeoGebra CAS – To biler på kryss og motorvei

Vi regner ut posisjonene til de to bilene ved $t = 1$ :

\vec{r_{A}} (1) = [\frac{1 - 4}{2}, 1] = [- \frac{3}{2}, 1]

\vec{r_{B}} (1) = [\frac{1}{2}, \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{5})] = [\frac{1}{2}, \frac{6}{5}]

Avstandsvektoren fra A til B ved $t = 1$ er (se linje 5 i CAS):

\vec{r_{B}} (1) - \vec{r_{A}} (1) = [2, \frac{1}{5}]

Avstanden er lengden av denne vektoren (se linje 6 i CAS):

| \vec{r_{B}} (1) - \vec{r_{A}} (1) | = \sqrt{2^{2} + {(\frac{1}{5})}^{2}} = \sqrt{4 + \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{101}{25}} = \frac{\sqrt{101}}{5}

Avstanden mellom bilene etter 1 minutt er $\frac{\sqrt{101}}{5} \approx 2,01 km$ .

Hastighetsvektorene finner vi ved å derivere posisjonsvektorene med hensyn på $t$ (se linje 3 og 4 i CAS):

\vec{v_{A}} = {\vec{r_{A}}}^{'} (t) = [\frac{1}{2}, 1], \vec{v_{B}} = {\vec{r_{B}}}^{'} (t) = [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]

Fartene (km/min) er lengdene av hastighetsvektorene (se linje 7 og 8 i CAS):

| \vec{v_{A}} | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1,12 k m / m i n

| \vec{v_{B}} | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1,58 k m / m i n

Omregnet til km/h:

| \vec{v_{A}} | \approx 1,12 \cdot 60 \approx 67,1 k m / h

| \vec{v_{B}} | \approx 1,58 \cdot 60 \approx 94,9 k m / h

$Bil B er på motorveien$ , fordi den har høyest fart (≈ 94,9 km/h mot 67,1 km/h for bil A).

Veiene er rette linjer. Vi finner likningen for hver vei ved å eliminere $t$ fra posisjonsvektorene.

Vei A: Fra $\vec{r_{A}} (t) = [\frac{t - 4}{2}, t]$ får vi $x = \frac{t - 4}{2}$ og $y = t$ , altså $t = y$ og $x = \frac{y - 4}{2}$ , som gir:

y = 2 x + 4

Vei B: Fra $\vec{r_{B}} (t) = [\frac{t}{2}, \frac{3}{2} (t - \frac{1}{5})]$ får vi $x = \frac{t}{2}$ og $y = \frac{3}{2} t - \frac{3}{10}$ , altså $t = 2 x$ og $y = 3 \cdot 2 x - \frac{3}{10}$ , som gir:

y = 3 x - \frac{3}{10}

Veiene er lagt inn som VeiA og VeiB i CAS (linje 9 og 10). Skjæringspunktet Veikryss beregnes i linje 11:

Veikryss = (\frac{43}{10}, \frac{63}{5}) = (4,3, 12,6)

Nå finner vi når hver bil er i veikrysset.

Bil A: $y$ -koordinaten til $\vec{r_{A}} (t)$ er $y = t$ , så bil A er i veikrysset når $t_{A} = 12,6 \min$ .

Bil B: $x$ -koordinaten til $\vec{r_{B}} (t)$ er $x = \frac{t}{2}$ , så bil B er i veikrysset når $t_{B} = 2 \cdot 4,3 = 8,6 \min$ .

$Bil B kommer til veikrysset først$ , 4 minutter før bil A ( $t_{B} = 8,6 \min$ , $t_{A} = 12,6 \min$ ).

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Riktig vektor, uten å beregne avstand, kan gi 1 poeng.

Riktig strategi, men feil utregning eller mangelfull argumentasjon, kan gi 1 poeng.

Riktig strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2024, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Derivasjon, Modellering
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet
Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer

To biler på kryss og motorvei

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

To biler på kryss og motorvei

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

To biler på kryss og motorvei

To biler på kryss og motorvei

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer