Telt med vektorer i rommet

Et telt står i en plan skråning. Teltet har tre rette teltstenger som er plassert i punktene $A (0, 0, 0)$ , $B (3, 1, 2)$ og $C (- 1, 3, 1)$ . De tre teltstengene er samlet i toppunktet $T$ .

Bestem arealet av bunnen i teltet.

Lengden av teltstanga fra punkt $C$ til punkt $T$ er $\sqrt{17}$ . Teltstanga fra punkt $A$ til punkt $T$ følger linja $ℓ$ , gitt ved

ℓ : {\begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = 4 t \end{matrix}

Bestem koordinatene til toppunktet $T$ .

Fasit

$\frac{5}{2} \sqrt{6}$

$T (1, 1, 4)$

Løsningsforslag

Jeg vet at arealet til et parallellogram utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved $| \vec{a} \times \vec{b} |$ , derfor må arealet av bunnen av teltet være gitt ved

A_{△} = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} |

\begin{matrix} \vec{A B} \times \vec{A C} & = | \begin{matrix} {\vec{e}}_{x} & {\vec{e}}_{y} & {\vec{e}}_{z} \\ 3 & 1 & 2 \\ - 1 & 3 & 1 \end{matrix} | \\ = {\vec{e}}_{x} (1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) - {\vec{e}}_{y} (3 \cdot 1 - 2 \cdot (- 1)) + {\vec{e}}_{z} (3 \cdot 3 - 1 \cdot (- 1)) \\ = [\begin{matrix} - 5, & - 5, & 10 \end{matrix}] \end{matrix}

Arealet er derfor

A_{△} = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | = \frac{1}{2} \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{2} + 10^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{150} = \frac{1}{2} \sqrt{25 \cdot 6} = \frac{1}{2} 5 \cdot \sqrt{6} = \frac{5}{2} \sqrt{6}

Arealet av bunnen av teltet er $\frac{5}{2} \sqrt{6}$ .

$T$ ligger på linja $ℓ$ med parameterframstillingen $T (t, t, 4 t)$ . Vi vet at lengden av teltstanga $C T$ er $\sqrt{17}$ , altså $| \vec{C T} | = \sqrt{17}$ . Vi setter opp:

\begin{matrix} | \vec{C T} |^{2} & = 17 \\ {(t - (- 1))}^{2} + {(t - 3)}^{2} + {(4 t - 1)}^{2} & = 17 \\ {(t + 1)}^{2} + {(t - 3)}^{2} + {(4 t - 1)}^{2} & = 17 \\ t^{2} + 2 t + 1 + t^{2} - 6 t + 9 + 16 t^{2} - 8 t + 1 & = 17 \\ 18 t^{2} - 12 t + 11 & = 17 \\ 18 t^{2} - 12 t - 6 & = 0 \\ 3 t^{2} - 2 t - 1 & = 0 \\ (3 t + 1) (t - 1) & = 0 \\ t & = 1 \lor t = - \frac{1}{3} \end{matrix}

Fra figuren skal toppunktet befinne seg over $x y$ -planet, så vi velger $t = 1$ .

Koordinatene til toppunktet er $T (1, 1, 4)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Riktig strategi for utregning av kryssprodukt kan gi 1 poeng.

To løsninger uten videre kommentarer kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2024, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Areal og omkrets
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet
Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon

Telt med vektorer i rommet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Telt med vektorer i rommet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Telt med vektorer i rommet

Telt med vektorer i rommet

Lov på eksamen

Temaer