Tangenter parallelle med linje og skjæring med x-aksen

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - x - 1

Grafen til $f$ har to tangenter som er parallelle med linjen $y = \frac{1}{2} x + 2$ .

Bestem skjæringspunktet med $x$ -aksen for hver av disse tangentene eksakt.

Fasit

$x = 2 + \sqrt{2} og x = 2 - \sqrt{2}$

LøsningsforslagKI-generert

En tangent er parallell med linjen $y = \frac{1}{2} x + 2$ når stigningstallet til tangenten er $\frac{1}{2}$ , altså når $f^{'} (x) = \frac{1}{2}$ .

Vi deriverer $f$ :

f (x) = x^{3} - x - 1 \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1

Setter dette lik $\frac{1}{2}$ :

3 x^{2} - 1 = \frac{1}{2}

3 x^{2} = \frac{3}{2}

x^{2} = \frac{1}{2}

x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

Vi har altså to berøringspunkter, ett i $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og ett i $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tangenten i $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = - \frac{\sqrt{2}}{4} - 1

Tangentlikningen (stigningstall $\frac{1}{2}$ ) blir

y = (- \frac{\sqrt{2}}{4} - 1) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sqrt{2}}{2})

Vi finner skjæringen med $x$ -aksen ved å sette $y = 0$ og løse for $x$ :

0 = - \frac{\sqrt{2}}{4} - 1 + \frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{4}

\frac{1}{2} x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}

x = 2 + \sqrt{2}

Tangenten i $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 1 = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{2}}{4} - 1

Tangentlikningen blir

y = (\frac{\sqrt{2}}{4} - 1) + \frac{1}{2} (x + \frac{\sqrt{2}}{2})

Setter $y = 0$ :

0 = \frac{\sqrt{2}}{4} - 1 + \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{4}

\frac{1}{2} x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}

x = 2 - \sqrt{2}

Svar: De to tangentene skjærer $x$ -aksen i $x = 2 + \sqrt{2}$ og $x = 2 - \sqrt{2}$

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2021, oppgave 13
Eksamen: Ikke delt i del 1 og del 2 · 5 timer · Hele eksamen, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Tangent, Eksakte verdier

Innstillinger