Tangent til tredjegradsfunksjon gjennom eksternt punkt

Del 2, alle hjelpemidler
Del 2 · oppgave 7
Mine oppgaver
Verktøy

Innstillinger

Utseende

Tema
Skrifttype
Tekststørrelse
100%

Oppgaver og visning

Utskrift

Standard for oppgavesett

Synkronisering

Synkroniser fremgang, notater og lister på tvers av enhetene dine med ende-til-ende-kryptering (E2EE). Ingen konto nødvendig.

Sync på tvers av enheter

Tangent til tredjegradsfunksjon gjennom eksternt punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har følgende resultat:

Anta at grafen til en tredjegradsfunksjon f skjærer en linje ℓ i tre punkter med x-koordinater x1, x2 og x3. La m=x1+x22.

Da vil tangenten til grafen til f i punktet (m,f(m)) gå gjennom punktet (x3,f(x3)).

Hjelpemiddelkrav: For hånd

Vis at resultatet stemmer for funksjonen f gitt ved

f(x)=x3−x2−2x+3

og linjen y=2x−1 når x1=−2, x2=1 og x3=2.

La g være en tredjegradsfunksjon. Anta at en linje y=ax+b skjærer grafen til g i (x1,f(x1)), (x2,f(x2)) og (x3,f(x3)).

Hjelpemiddelkrav: For hånd

Forklar at vi kan skrive g på formen

g(x)=k(x−x1)(x−x2)(x−x3)+(ax+b),der k∈ℝ.
Hjelpemiddelkrav: For hånd

Vis at tangenten til grafen til g i m=x1+x22 går gjennom (x3,g(x3)).

Gitt funksjonen h(x)=x3−2x+1 og punktet P(2,5). Vi ønsker å tegne en tangent til grafen til h som går gjennom P.

Hjelpemiddelkrav: For hånd

Forklar hvordan vi kan bruke linjen y=2x+1 til å bestemme tangeringspunktet.

Fasit

Tangenten i m=−12 er y=−14x+72, som gir y=3 ved x=2=x3. ✓

g(x)−(ax+b) er et tredjegradspolynom med røtter x1,x2,x3, altså =k(x−x1)(x−x2)(x−x3).

Vist algebraisk: g(x3)−g(m)=g′(m)(x3−m).

Tangeringspunktet er (−1,2); tangenten er y=x+3.

LøsningsforslagKI-generert

Vi har f(x)=x3−x2−2x+3, x1=−2, x2=1, x3=2 og

m=x1+x22=−2+12=−12

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne f(m), f′(m) og f(x3):

GeoGebra CAS – del a

Fra CAS (linje 3–6): f(−12)=298, f′(x)=3x2−2x−2, f′(−12)=−14.

Tangentlinjen i punktet (−12,298) er (linje 5):

ℓ(x)=−14x+72

Vi sjekker verdien ved x3=2 (linje 6): ℓ(2)=3.

Fra CAS (linje 7): f(2)=3.

Siden ℓ(x3)=f(x3)=3, går tangenten gjennom (x3,f(x3))=(2,3). ■

Siden g er en tredjegradsfunksjon og y=ax+b er en linje, er differansen

p(x)=g(x)−(ax+b)

et tredjegradspolynom. Fordi linjen skjærer grafen til g i punktene (x1,g(x1)), (x2,g(x2)) og (x3,g(x3)), har p røttene x1, x2 og x3.

Et tredjegradspolynom med tre røtter faktoriserer som

p(x)=k(x−x1)(x−x2)(x−x3),k∈ℝ.

Derfor er

g(x)=k(x−x1)(x−x2)(x−x3)+(ax+b).

Vi bruker formen fra b). La s=x1−x2 og m=x1+x22. Da er

m−x1=−s2,m−x2=s2,(m−x1)(m−x2)=−s24.

Verdien av g i x3 og m:

g(x3)=k(x3−x1)(x3−x2)(x3−x3)⏟=0+(ax3+b)=ax3+b
g(m)=k(−s24)(m−x3)+(am+b)

Den deriverte i m:

g′(x)=k[(x−x2)(x−x3)+(x−x1)(x−x3)+(x−x1)(x−x2)]+a

Ved x=m:

(m−x2)(m−x3)=s2(m−x3)(m−x1)(m−x3)=−s2(m−x3)(m−x1)(m−x2)=−s24

De to første leddene kansellerer:

g′(m)=k(s2(m−x3)−s2(m−x3)−s24)+a=a−ks24

Vi viser at g(x3)−g(m)=g′(m)(x3−m):

g(x3)−g(m)=(ax3+b)−[k(−s24)(m−x3)+am+b]=a(x3−m)+ks24(m−x3)=(x3−m)(a−ks24)=g′(m)⋅(x3−m).□

Dette viser at tangentlinjen til g i (m,g(m)) går gjennom (x3,g(x3)).

Vi observerer at h(2)=23−2⋅2+1=5, så P(2,5) ligger på grafen til h. Punktet P er altså ikke et eksternt punkt, men et punkt på kurven selv.

Vi sjekker at P også ligger på linjen y=2x+1: 2⋅2+1=5. ✓

Linjen y=2x+1 skjærer grafen til h(x)=x3−2x+1 i tre punkter. Fra GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – del d

Skjæringspunktene er ved x1=−2, x2=0 og x3=2 (linje 4). Siden P=(x3,h(x3)), kan vi bruke resultatet fra c):

Tangenten til h i midtpunktet m=x1+x22=−2+02=−1 vil gå gjennom (x3,h(x3))=P(2,5).

Fra CAS (linjene 2–6): h′(x)=3x2−2, h′(−1)=1, h(−1)=2, og tangentlinjen er y=x+3.

Vi bekrefter: tangenten y=x+3 ved x=2 gir y=5 (linje 6). ✓

Fremgangsmåten for å finne tangeringspunktet er:

  1. Finn skjæringspunktene til y=2x+1 og h(x)=x3−2x+1.
  2. Bekreft at P(2,5) er ett av disse punktene (dvs. x3=2).
  3. De to øvrige skjæringspunktene er ved x1=−2 og x2=0.
  4. Tangeringspunktet er m=x1+x22=−1, og tangenten går gjennom P.

Forstå oppgaven med en KI

Du får en ferdig tekst du limer inn i den KI-chatboten du bruker. Teksten inneholder oppgaven og en instruks om at chatboten skal hjelpe deg å tenke selv — stille spørsmål, gi ett hint av gangen og la deg gjøre regningen.

Anbefalt. Chatboten får beskjed om å bruke det til å veilede deg riktig vei — ikke til å røpe svaret. Du kan slå det av hvis du vil være helt sikker på at ingenting lekker.

Hva du bør vite
  • Ingenting sendes herfra. Teksten kopieres bare til utklippstavla på enheten din. Det du limer inn i en chatbot, går til den tjenesten — og de har sine egne regler for hva de lagrer.
  • Ikke lim inn personopplysninger — navn, skole eller noe annet om deg selv eller andre. Oppgaveteksten holder.
  • KI kan ta feil, også i matematikk. Sjekk alltid mot løsningsforslaget her på siden.
  • Er du usikker på om du har lov til å bruke KI på skolearbeidet ditt, spør læreren din først.
Oppgavedata
Hentet fra
R1 E2021, del 2, oppgave 7
Hjelpemidler
  • Kalkulator
  • CAS
  • Graftegner og regneark
  • Lærebok, formelsamling og egne notater

Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.

Kategori
3
Vanskegrad
3

Tastatursnarveier

Navigasjon

⌘K / Ctrl+K
Åpne søk
G F
Gå til Fag
G E
Gå til Eksamener
G T
Gå til Temaer
G K
Gå til Kompetansemål
G H
Hjem
?
Vis snarveier

I oppgave

←/→ · J/K
Forrige / neste oppgave
0
Marker som ikke prøvd
1
Marker som prøvd
2
Marker som trenger hjelp
3
Marker som ferdig
S
Vis / skjul løsningsforslag
A
Legg til i liste
N
Skriv notat
Esc
Tilbake / avslutt