Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 1 - x^{2}, D_{f} = [0, 1]

La $a \in ⟨ 0, 1 ⟩$ og $O$ være origo. Tangenten til grafen til $f$ i punktet $P (a, f (a))$ skjærer $x$ -aksen i punktet $A$ og $y$ -aksen i punktet $B$ som vist på figuren.

Graf som viser parabelen f(x)=1-x^2 på [0,1] med tangent i P som skjærer aksene i A og B

Kalkulator

Bestem arealet av $△ O A B$ når $P (\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ .

Kalkulator

Bestem det minste arealet $△ O A B$ kan ha.

Fasit

$\frac{25}{32}$

$\frac{4 \sqrt{3}}{9}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først en generell tangentligning til $f (x) = 1 - x^{2}$ i punktet $P (a, f (a))$ .

Siden $f^{'} (x) = - 2 x$ , er stigningstallet til tangenten i $P$ lik $f^{'} (a) = - 2 a$ .

Tangentens ligning blir

t (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) = (1 - a^{2}) - 2 a (x - a) = a^{2} - 2 a x + 1

Skjæringspunkt A med $x$ -aksen ( $y = 0$ ):

0 = a^{2} - 2 a x + 1 ⟹ x = \frac{a^{2} + 1}{2 a}

Så $A = (\frac{a^{2} + 1}{2 a}, 0)$ .

Skjæringspunkt B med $y$ -aksen ( $x = 0$ ):

t (0) = a^{2} + 1

Så $B = (0, a^{2} + 1)$ .

Her er $a = \frac{1}{2}$ .

O A = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{4}}{1} = \frac{5}{4}

O B = {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 = \frac{5}{4}

T = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{32}

Arealet av $△ O A B$ som funksjon av $a$ er

T (a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^{2} + 1}{2 a} \cdot (a^{2} + 1) = \frac{{(a^{2} + 1)}^{2}}{4 a}, a \in ⟨ 0, 1 ⟩

Vi deriverer og setter $T^{'} (a) = 0$ :

T^{'} (a) = \frac{2 (a^{2} + 1) \cdot 2 a \cdot 4 a - {(a^{2} + 1)}^{2} \cdot 4}{{(4 a)}^{2}}

Teller satt lik null (og $a^{2} + 1 > 0$ kan forkortes):

4 a \cdot 2 (a^{2} + 1) - 4 {(a^{2} + 1)}^{2} = 0

4 (a^{2} + 1) [2 a - (a^{2} + 1)] \cdot \dots

Vi bruker kvotientregelen direkte. Med $u = {(a^{2} + 1)}^{2}$ og $v = 4 a$ :

T^{'} (a) = \frac{4 a (a^{2} + 1) \cdot 2 a - (a^{2} + 1)^{2} \cdot 4}{16 a^{2}} = \frac{4 (a^{2} + 1) [2 a^{2} - (a^{2} + 1)]}{16 a^{2}} = \frac{(a^{2} + 1) (a^{2} - 1)}{4 a^{2}} \cdot \dots

CAS gir

T^{'} (a) = \frac{3 a^{4} + 2 a^{2} - 1}{4 a^{2}}

Telleren faktoriseres:

3 a^{4} + 2 a^{2} - 1 = (3 a^{2} - 1) (a^{2} + 1)

Siden $a^{2} + 1 > 0$ for alle $a$ , er $T^{'} (a) = 0$ bare når $3 a^{2} - 1 = 0$ , det vil si

a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

(Vi forkaster den negative løsningen siden $a \in ⟨ 0, 1 ⟩$ .)

Fortegnslinjen til $T^{'} (a)$ :

Fortegnslinje for T'(a) med sjablongkurve for T(a)

$T$ har et (globalt) minimum ved $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Minste areal:

T (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(\frac{1}{3} + 1)}^{2}}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{{(\frac{4}{3})}^{2}}{\frac{4 \sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4 \sqrt{3}}{3}} = \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{4 \sqrt{3}} = \frac{4}{3 \sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}

Det minste arealet av $△ O A B$ er $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2022, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Optimering

Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer