Tangent til ln og trekantareal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = \ln x$ .

Et punkt $B$ på grafen til $f$ er plassert slik at tangenten til grafen i punktet $B$ går gjennom $A (0,0)$ .

Punktet $C$ er plassert på linja $y = x$ slik at $∠ A C B = 90 °$ .

Grafen til f(x) = ln x med punkt B, tangent og trekant ABC

For hånd

Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet $B$ .

For hånd

Bestem det eksakte arealet av trekant $A B C$ .

Fasit

$B = (e, 1)$

$T = \frac{e^{2} - 1}{4} \approx 1,60$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS.

GeoGebra CAS – tangentbetingelse og trekantareal

Vi definerer $f (x) = \ln x$ og finner den deriverte.

f^{'} (x) = \frac{1}{x}

Tangenten i punktet $B = (b, \ln b)$ har stigning $f^{'} (b) = \frac{1}{b}$ og likning

y - \ln b = \frac{1}{b} (x - b)

For at tangenten skal gå gjennom $A (0,0)$ setter vi inn $x = 0, y = 0$ :

- \ln b = \frac{1}{b} (0 - b) = - 1 \Rightarrow \ln b = 1 \Rightarrow b = e

CAS bekrefter: Løs(ln(x) = 1, x) → ${x = e}$ .

$B = (e, 1)$ .

$C$ ligger på linja $y = x$ , så $C = (c, c)$ for et tall $c > 0$ .

Betingelsen $∠ A C B = 90 °$ betyr at $\vec{C A} ⟂ \vec{C B}$ .

\vec{C A} = A - C = (- c, - c), \vec{C B} = B - C = (e - c, 1 - c)

Prikkprodukt lik null:

(- c) (e - c) + (- c) (1 - c) = 0 \Rightarrow - c [(e - c) + (1 - c)] = 0 \Rightarrow c (e + 1 - 2 c) = 0

$c = 0$ gir punktet $A$ , så

c = \frac{e + 1}{2}, C = (\frac{e + 1}{2}, \frac{e + 1}{2})

CAS bekrefter koordinatene til $C$ (se linje 5 i utklippet).

Siden $∠ A C B = 90 °$ er arealet av trekanten

T = \frac{1}{2} \cdot | A C | \cdot | C B |

Vi beregner sidelengdene:

| A C | = \sqrt{c^{2} + c^{2}} = c \sqrt{2} = \frac{(e + 1) \sqrt{2}}{2}

e - c = e - \frac{e + 1}{2} = \frac{e - 1}{2}, 1 - c = 1 - \frac{e + 1}{2} = \frac{1 - e}{2} = - \frac{e - 1}{2}

| C B | = \sqrt{{(\frac{e - 1}{2})}^{2} + {(\frac{e - 1}{2})}^{2}} = \frac{(e - 1) \sqrt{2}}{2}

T = \frac{1}{2} \cdot \frac{(e + 1) \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(e - 1) \sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1) \cdot 2}{4} = \frac{e^{2} - 1}{4}

CAS bekrefter: Forenkle((e+1)/2 · (e-1)/2) → $\frac{1}{4} e^{2} - \frac{1}{4}$ (se linje 6).

Arealet av trekant $A B C$ er $\frac{e^{2} - 1}{4} \approx 1,60$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som finner tilnærmete verdier, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2025, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Logaritmer, Derivasjon, Areal og omkrets
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Tangent til ln og trekantareal

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tangent til ln og trekantareal

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tangent til ln og trekantareal

Tangent til ln og trekantareal

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer