Tangent til kvartsirkel og minste trekantareal OAB

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kvartsirkel med tangent i P som skjærer koordinataksene i A og B

Figuren ovenfor viser en kvartsirkel med radius 3 og sentrum i origo. En tangent i punktet $P$ skjærer koordinataksene i $A$ og $B$ .

Kvartsirkelen er grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}, x \in ⟨ 0, 3 ⟩

Punktet $P$ har førstekoordinat $a$ . Det kan vises at likningen for tangenten er

y = \frac{- a}{\sqrt{9 - a^{2}}} \cdot x + \frac{9}{\sqrt{9 - a^{2}}}

For hånd

Bestem koordinatene til punktene $A$ og $B$ uttrykt ved $a$ .

For hånd

Vis at arealet $F$ av trekanten $O A B$ er

F (a) = \frac{81}{2} \cdot \frac{1}{a \sqrt{9 - a^{2}}}

For hånd

Tegn en skisse av grafen til $F$ . Bruk skissen til å finne det minste arealet av $△ O A B$ med tilhørende verdi av $a$ .

For hånd

Bestem $F^{'} (a)$ og bruk denne til å finne den eksakte verdien for $a$ som gjør at arealet av trekanten blir minst mulig.

Fasit

$A = (\frac{9}{a}, 0), B = (0, \frac{9}{\sqrt{9 - a^{2}}})$

Vist – se løsningsforslag

$F_{\min} \approx 9 ved a \approx 2,12$

$a = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, F_{\min} = 9$

LøsningsforslagKI-generert

Punktet $A$ er der tangenten skjærer $x$ -aksen, altså der $y = 0$ :

0 = \frac{- a}{\sqrt{9 - a^{2}}} \cdot x + \frac{9}{\sqrt{9 - a^{2}}}

\frac{a}{\sqrt{9 - a^{2}}} \cdot x = \frac{9}{\sqrt{9 - a^{2}}} \Rightarrow x = \frac{9}{a}

Altså er $A = (\frac{9}{a}, 0)$ .

Punktet $B$ er der tangenten skjærer $y$ -aksen, altså der $x = 0$ :

y = \frac{- a}{\sqrt{9 - a^{2}}} \cdot 0 + \frac{9}{\sqrt{9 - a^{2}}} = \frac{9}{\sqrt{9 - a^{2}}}

Altså er $B = (0, \frac{9}{\sqrt{9 - a^{2}}})$ .

Trekanten $O A B$ har rett vinkel i origo, siden $A$ ligger på $x$ -aksen og $B$ på $y$ -aksen. Arealet er dermed

F (a) = \frac{1}{2} \cdot | O A | \cdot | O B | = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{a} \cdot \frac{9}{\sqrt{9 - a^{2}}} = \frac{81}{2} \cdot \frac{1}{a \sqrt{9 - a^{2}}}

som er det vi skulle vise.

Vi bruker GeoGebra CAS til å tegne grafen til $F$ for $a \in ⟨ 0, 3 ⟩$ og lese av minste verdi numerisk med Min(F, 0.1, 2.9).

CAS-utregning: F(a) definert og numerisk minimum funnet med Min

Skjermbildet viser at $F$ har et minimum i punktet $\approx (2,12132, 9)$ . Grafisk avlest gir dette et minste areal på

F_{\min} \approx 9 ved a \approx 2,12

Vi deriverer $F$ med CAS (kvotientregel/kjerneregel for hånd gir samme resultat):

CAS-utregning: F(a), derivert, løsning av F'(a)=0, og F ved minimumspunktet

Skjermbildet gir

F^{'} (a) = \frac{81 (2 a^{2} - 9) \sqrt{9 - a^{2}}}{2 a^{2} {(a - 3)}^{2} {(a + 3)}^{2}}

For $a \in ⟨ 0, 3 ⟩$ er nevneren og $\sqrt{9 - a^{2}}$ alltid positive, så fortegnet til $F^{'} (a)$ bestemmes av $2 a^{2} - 9$ . Vi setter $F^{'} (a) = 0$ :

2 a^{2} - 9 = 0 \Rightarrow a^{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow a = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}

Bare den positive løsningen ligger i definisjonsmengden $⟨ 0, 3 ⟩$ , så $a = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \approx 2,12$ .

For $a < \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ er $2 a^{2} - 9 < 0$ , så $F^{'} (a) < 0$ (fallende). For $a > \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ er $2 a^{2} - 9 > 0$ , så $F^{'} (a) > 0$ (voksende). Dermed er $a = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ et minimumspunkt, i tråd med den grafiske avlesningen i c).

Skjermbildet i c) viser $F (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = 9$ . Den eksakte, minste arealet av $△ O A B$ er dermed

a = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, F_{\min} = 9

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2010, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Derivasjon, Optimering, Sirkel, Tangent, Areal og omkrets

Tangent til kvartsirkel og minste trekantareal OAB

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tangent til kvartsirkel og minste trekantareal OAB

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tangent til kvartsirkel og minste trekantareal OAB

Tangent til kvartsirkel og minste trekantareal OAB

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer