Tangent til kvadratrotfunksjon og areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til f med tangenten i punktet P(a, f(a)); tangenten skjærer x-aksen i A, grafen starter i B og C ligger rett under P på x-aksen

Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \sqrt{x - 2}

På skissen er det også tegnet inn tangenten til grafen i punktet $P (a, f (a))$ .

For hånd

Vis at likningen til tangenten er

y = \frac{1}{2 \sqrt{a - 2}} x + \frac{a - 4}{2 \sqrt{a - 2}}

Bestem koordinatene til punktene $A$ , $B$ og $C$ på figuren.

For hånd

Vis at arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$ og $x$ -aksen fra $B$ til $C$ er

\frac{2}{3} {(a - 2)}^{\frac{3}{2}}

Bestem også arealet av $△ A C P$ .

For hånd

Grafen til $f$ deler $△ A C P$ i to områder. Vis at arealet til det ene området er dobbelt så stort som arealet til det andre.

Fasit

$A (4 - a, 0), B (2, 0), C (a, 0)$

Areal under grafen: $\frac{2}{3} {(a - 2)}^{\frac{3}{2}}$ . $Areal (△ A C P) = {(a - 2)}^{\frac{3}{2}}$

Arealene er $\frac{2}{3} {(a - 2)}^{\frac{3}{2}}$ og $\frac{1}{3} {(a - 2)}^{\frac{3}{2}}$ — forholdet er $2 : 1$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er $f (x) = \sqrt{x - 2}$ , med definisjonsmengde $x \geq 2$ . Den deriverte er

f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}}

Tangenten til grafen i punktet $P (a, f (a))$ har likning

y = f (a) + f^{'} (a) (x - a) = \sqrt{a - 2} + \frac{1}{2 \sqrt{a - 2}} (x - a)

Vi setter $\sqrt{a - 2}$ på felles brøkstrek med resten:

y = \frac{x}{2 \sqrt{a - 2}} - \frac{a}{2 \sqrt{a - 2}} + \sqrt{a - 2} = \frac{x}{2 \sqrt{a - 2}} + \frac{- a + 2 (a - 2)}{2 \sqrt{a - 2}}

y = \frac{1}{2 \sqrt{a - 2}} x + \frac{a - 4}{2 \sqrt{a - 2}}

som var det som skulle vises. GeoGebra CAS bekrefter dette (linje 3 i utklippet under, med t(x) skrevet med felles brøkstrek):

CAS-utregning av tangentlikning og arealer

Punktene:

$B$ er der grafen til $f$ starter, altså $x = 2$ (grensen for definisjonsmengden), som gir $B (2, 0)$ .
$C$ ligger rett under $P$ på $x$ -aksen, altså $C (a, 0)$ .
$A$ er skjæringspunktet mellom tangenten og $x$ -aksen. Vi setter $y = 0$ :

0 = \frac{x}{2 \sqrt{a - 2}} + \frac{a - 4}{2 \sqrt{a - 2}} \Rightarrow x = - (a - 4) = 4 - a

Dette stemmer med linje 4 i CAS-utklippet ( $x = - a + 4$ ). Dermed er $A (4 - a, 0)$ .

Siden $a > 2$ , ligger punktene i rekkefølgen $A < B < C$ langs $x$ -aksen, slik figuren viser.

Arealet mellom grafen til $f$ og $x$ -aksen fra $B$ (der $x = 2$ ) til $C$ (der $x = a$ ) er gitt ved det bestemte integralet

T = \int_{2}^{a} \sqrt{x - 2} d x = {[\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{2}^{a} = \frac{2}{3} {(a - 2)}^{\frac{3}{2}} - 0

T = \frac{2}{3} {(a - 2)}^{\frac{3}{2}}

som var det som skulle vises (se ArealBC på linje 5 i CAS-utklippet).

Arealet av $△ A C P$ : Grunnlinjen $A C$ ligger på $x$ -aksen og har lengde

| A C | = a - (4 - a) = 2 a - 4 = 2 (a - 2)

Høyden i trekanten er avstanden fra $P$ ned til grunnlinjen, altså $y$ -koordinaten til $P$ : $h = f (a) = \sqrt{a - 2}$ . Arealet blir da

Areal (△ A C P) = \frac{1}{2} \cdot | A C | \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 (a - 2) \cdot \sqrt{a - 2} = (a - 2) \cdot \sqrt{a - 2}

Areal (△ A C P) = {(a - 2)}^{\frac{3}{2}}

Dette stemmer med ArealACP på linje 6 i CAS-utklippet ovenfor.

Grafen til $f$ går fra $B (2,0)$ til $P (a, f (a))$ , og siden $B$ ligger på grunnlinjen $A C$ (mellom $A$ og $C$ ), deler grafen trekanten $△ A C P$ i to områder:

Område 1: avgrenset av grafen, linjestykket $C P$ (loddrett opp til $P$ ) og linjestykket $B C$ på $x$ -aksen. Dette er nøyaktig arealet $T$ fra oppgave b):

T_{1} = \frac{2}{3} {(a - 2)}^{\frac{3}{2}}

Område 2: resten av trekanten, altså det som ligger mellom tangenten $A P$ , linjestykket $A B$ på $x$ -aksen og grafen til $f$ . Arealet er differansen mellom hele trekanten og område 1:

T_{2} = Areal (△ A C P) - T_{1} = {(a - 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a - 2)}^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} {(a - 2)}^{\frac{3}{2}}

Dette bekreftes av ArealAndreOmr på linje 7 i CAS-utklippet. Forholdet mellom de to arealene er

\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{\frac{2}{3} {(a - 2)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{3} {(a - 2)}^{\frac{3}{2}}} = 2

som stemmer med linje 8 i CAS-utklippet. Dermed er $T_{1} = 2 \cdot T_{2}$ , altså er det ene området dobbelt så stort som det andre, uansett hvilken verdi $a$ har (så lenge $a > 2$ ).

Illustrasjon (med $a = 6$ , som gir $A (- 2,0)$ , $B (2,0)$ , $C (6,0)$ , $P (6,2)$ ): grafen til $f$ deler trekanten $△ A C P$ i det grønne området ( $T_{1} = \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} \approx 5,33$ ) og det oransje området ( $T_{2} \approx 2,67$ ), der det grønne er dobbelt så stort som det oransje.

Trekant ACP delt av grafen til f i to områder, illustrert med a = 6

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

Korrekt løsning ved bruk av CAS eller andre digitale verktøy, med tilfredsstillende presentasjon, gir full uttelling. Jf. vurderingsveiledningen 2012.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2012, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Derivasjon, Integrasjon, Areal under graf, Bevis

Tangent til kvadratrotfunksjon og areal

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tangent til kvadratrotfunksjon og areal

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tangent til kvadratrotfunksjon og areal

Tangent til kvadratrotfunksjon og areal

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer