Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved $f (x) = e^{2 x}$ der $x \in ℝ$ .

Grafen til $f$ har én tangent som går gjennom origo.

Bestem eksakte verdier for koordinatene til tangeringspunktet.

Fasit

Tangeringspunktet er $(\frac{1}{2}, e)$ .

LøsningsforslagKI-generert

La $(a, f (a)) = (a, e^{2 a})$ være tangeringspunktet.

Tangenten i dette punktet har stigningstall $f^{'} (a)$ . Siden $f^{'} (x) = 2 e^{2 x}$ , er stigningstallet

f^{'} (a) = 2 e^{2 a}

For at tangenten skal gå gjennom origo $(0, 0)$ , må stigningstallet også stemme med stigningstallet fra origo til tangeringspunktet:

\frac{f (a) - 0}{a - 0} = \frac{e^{2 a}}{a}

Vi setter de to uttrykkene for stigningstallet like hverandre:

2 e^{2 a} = \frac{e^{2 a}}{a}

Siden $e^{2 a} > 0$ for alle $a$ , kan vi dele begge sider på $e^{2 a}$ :

2 = \frac{1}{a} ⟹ 𝐚 = \frac{𝟏}{𝟐}

GeoGebra CAS bekrefter $a = 0,5$ (se linje 2 i figuren):

GeoGebra CAS – tangent fra origo

$y$ -koordinaten i tangeringspunktet er

f (\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot \frac{1}{2}} = e^{1} = e

Tangeringspunktet er $(\frac{𝟏}{𝟐}, 𝐞)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En riktig strategi som ikke fører frem, eller en tilnærmet verdi kan gi 1 poeng. Kandidater som kommer frem til den eksakte løsningen fra en tilnærmingsverdi og verifiserer denne, kan få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2026, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Tangent, Eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter

Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26

Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer