Tallfølge med rekursiv formel og induksjonsbevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En tallfølge ${a_{n}}$ er gitt ved at $a_{1} = - 1$ og $a_{n + 1} = a_{n} + n - 1$

Bruk induksjon til å bevise at $a_{n} = \frac{n (n - 3)}{2}$ , $n \in ℕ$

Fasit

Se induksjonsbevis under.

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal vise ved induksjon at $a_{n} = \frac{n (n - 3)}{2}$ for alle $n \in ℕ$ , når $a_{1} = - 1$ og $a_{n + 1} = a_{n} + n - 1$ .

Basissteg: Vi sjekker at formelen stemmer for $n = 1$ .

\frac{1 \cdot (1 - 3)}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 = a_{1}

Formelen stemmer for $n = 1$ .

Induksjonssteg: Vi antar at formelen stemmer for et gitt tall $n$ , altså at

a_{n} = \frac{n (n - 3)}{2}

Vi skal vise at formelen da også stemmer for $n + 1$ , altså at

a_{n + 1} = \frac{(n + 1) (n - 2)}{2}

Vi bruker rekursjonsformelen og induksjonsantakelsen:

a_{n + 1} = a_{n} + n - 1 = \frac{n (n - 3)}{2} + n - 1 = \frac{n^{2} - 3 n}{2} + \frac{2 n - 2}{2} = \frac{n^{2} - n - 2}{2}

Vi faktoriserer telleren og sammenligner med det vi skulle vise:

\frac{n^{2} - n - 2}{2} = \frac{(n + 1) (n - 2)}{2}

Dette er nettopp det vi skulle vise. Siden formelen stemmer for $n = 1$ , og siden den stemmer for $n + 1$ når den stemmer for $n$ , følger det av induksjonsprinsippet at

a_{n} = \frac{n (n - 3)}{2} for alle n \in ℕ

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2015, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Tallfølger, Induksjon, Bevis

Tallfølge med rekursiv formel og induksjonsbevis

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tallfølge med rekursiv formel og induksjonsbevis

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tallfølge med rekursiv formel og induksjonsbevis

Tallfølge med rekursiv formel og induksjonsbevis

Lov på eksamen

Temaer