Tallfølge med programmering og induksjon

En elev arbeider med en tallfølge og har skrevet denne koden:

a = 2
n = 5
for i in range(1, n + 1):
    print(a)
    a = a + (i + 2)

Beskriv mønsteret i tallfølgen eleven arbeider med. Hva blir resultatet når koden kjøres?

Eleven har også skrevet denne koden:

a = 2
n = 5
S = 0
for i in range(1, n + 1):
    S = S + a
    a = a + (i + 2)
print(S)

Hva ønsker eleven nå å finne ut? Hva blir resultatet når koden kjøres?

Tallene fra oppgave a) er starten på en rekke.

Bruk induksjon til å vise at et ledd i rekken kan uttrykkes som

a_n = \frac{n(n+3)}{2}, \quad n \geq 1

Fasit

Koden skriver ut tallfølgen 2, 5, 9, 14, 20. Differansen mellom leddene starter på 3 og øker med 1 for hvert ledd.

Eleven finner delsummen etter 5 ledd. Programmet skriver ut 50.

Se løsningsforslag (induksjonsbevis).

Løsningsforslag

Her setter vi opp en oversikt for å se hvordan variablene i programmet utvikler seg.

`i`	`a`	Beregning av neste `a`
1	2	$2+1+2=\underline{5}$
2	5	$5+2+2=\underline{9}$
3	9	$9+3+2=\underline{14}$
4	14	$14+4+2=\underline{20}$
5	20

Vi ser en tallfølge hvor differansene mellom leddene starter på 3, og deretter øker med 1 for hvert ledd. Matematisk kan dette uttrykkes med den rekursive sammenhengen

a_{n+1}=a_{n}+n+2

Koden skriver ut leddene i tallfølgen 2, 5, 9, 14, 20.

Eleven har lagt til en variabel S. S gir en løpende sum av verdiene til a, derfor vil S være delsummen til rekka etter n ledd.

Eleven ønsker å finne delsummen til rekka etter 5 ledd, altså $2+5+9+14+20=\underline{\underline{50}}$

Påstanden vår er at

a_n = \frac{n(n+3)}{2}, \quad n \geq 1

Vi viser at dette gjelder for $n=1$

a_{1} = \frac{1(1+3)}{2}=\frac{4}{2}=2 \quad \checkmark

Vi antar at formelen gjelder for $n=k$ slik at

a_{k}= \frac{k(k+3)}{2}

Vi finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen fra b).

a_{k+1}=a_{k}+k+2=\frac{k(k+3)}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}=\frac{k^{2}+3k+2k+4}{2}=\frac{k^{2}+5k+4}{2}

Deretter finner vi $a_{k+1}$ ved å bruke formelen.

a_{k+1}=\frac{(k+1)\left( (k+1) +3 \right) }{2}= \frac{k^{2}+2k+1+3k+3}{2}=\frac{k^{2}+5k+4}{2} \quad \checkmark

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å beskrive mønsteret og 1 poeng for riktig resultat av kjøringen.

2 poeng

1 poeng for å beskrive hva eleven ønsker å finne ut og 1 poeng for riktig resultat av kjøringen.

2 poeng

Induksjonsbeviset må kommuniseres godt for å få full uttelling.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: programmering, rekker, bevis
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis