Sylinderboks med minst overflate

Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.

Formel for å regne ut volumet av en boks med radius $r$ og høyde $h$

V = \pi \cdot r^2 \cdot h

Formel for å regne ut arealet av overflaten av boksen

O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h

Sylindrisk boks

Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha

et volum $V$ på $450 \mathrm{~cm^3}$
minst mulig overflate $O$

Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregninger og fyll inn verdiene som mangler.

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	35,8	462,6	450
4			450
6			450
8			450

Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.

Sett opp et funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom radius og overflate.

Hvor stor må radius i boksene være for at overflaten skal bli minst mulig? Hvor stor blir overflaten da?

Fasit

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	35,8	462,6	450
4	8,95	275,3	450
6	3,98	263,1	450
8	2,24	313,6	450

$O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}$

$\underline{\underline{r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}}}$ , $\underline{\underline{O_{\min} \approx 258 \, \mathrm{cm}^2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Isabel har gitt at $V = 450 \, \mathrm{cm}^3$ . Hun løser volumformelen for $h$ :

h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{450}{\pi r^2}

Deretter settes $h$ inn i overflateformelen:

O = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{450}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{900}{r}

Vi beregner $h$ og $O$ for hver radiusverdi i GeoGebra CAS (se utklipp):

GeoGebra CAS: tabellverdier for h og O

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	35,8	462,6	450
4	8,95	275,3	450
6	3,98	263,1	450
8	2,24	313,6	450

Vi setter $h = \dfrac{450}{\pi r^2}$ inn i formelen for overflaten:

O(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{450}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{900}{r}

Grafen under viser $O(r)$ for $r > 0$ med bunnpunktet markert:

Graf av O(r) med markert minimum

Vi finner minimumet ved å derivere $O(r)$ og sette $O'(r) = 0$ :

O'(r) = 2\pi r - \frac{900}{r^2}

Vi setter $O'(r) = 0$ :

2\pi r = \frac{900}{r^2} \implies r^3 = \frac{450}{\pi}

GeoGebra CAS gir $r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}$ (se utklipp over).

Høyden blir da:

h = \frac{450}{\pi \cdot 5{,}23^2} \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}

Vi merker oss at $h = r$ ved minimumet — boksen er like høy som den er bred.

Minste overflate:

O(5{,}23) = \pi \cdot 5{,}23^2 + \frac{900}{5{,}23} \approx 258 \, \mathrm{cm}^2

Isabel bør velge radius $\underline{\underline{r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}}}$ . Da blir overflaten minst mulig, $\underline{\underline{O_{\min} \approx 258 \, \mathrm{cm}^2}}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. En kandidat som ikke viser hvordan svarene framkommer, får høyst 1 poeng.

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig funksjonsuttrykk og 1 poeng for en riktig grafisk framstilling som kommuniserer godt. Funksjonsuttrykk og grafiske framstillinger som ikke er riktige, gir ingen uttelling.

2 poeng

I utgangspunktet gis ett poeng for hvert riktig svar som er gjort rede for. Følgefeil kan gi uttelling, dersom svarene som framkommer er rimelige ut fra situasjonen i oppgaven og tabellen i oppgave a).

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: optimering, volum, funksjoner
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige