Sykkeltur med differensiallikning og tilbakelagt vei

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Roger planlegger en sykkeltur. Han regner med å kunne starte med farten $26 k m / h$ . Etter hvert vil farten avta etter formelen

v (t) = 26 - 0,08 \cdot s (t)

$v (t)$ og $s (t)$ er begge funksjoner som er avhengige av tiden $t$ målt i timer
$v (t)$ er farten målt i kilometer per time
$s (t)$ er den tilbakelagte veilengden målt i kilometer

Kalkulator

Bestem farten etter 125 km.

Formelen ovenfor kan vi skrive som differensiallikningen

s^{'} (t) = 26 - 0,08 \cdot s (t)

Kalkulator

Bestem $s (t)$ når $s (0) = 0$ .

Kalkulator

Hvor langt sykler Roger den første timen? Hvor lang tid bruker han på 125 km?

Fasit

$v = 16 k m / h$

$s (t) = 325 - 325 \cdot e^{- 0,08 t}$

$s (1) \approx 24,99 km, t \approx 6,07 timer$

LøsningsforslagKI-generert

CAS: fart ved s=125, løsning av differensiallikningen og beregninger til c)

Vi setter $s = 125$ inn i fartsformelen $v (t) = 26 - 0,08 \cdot s (t)$ , se linje 1 i utklippet:

v = 26 - 0,08 \cdot 125 = 16

Etter $125 km$ er farten til Roger $16 k m / h$ .

Differensiallikningen $s^{'} (t) = 26 - 0,08 \cdot s (t)$ er en lineær førsteordens differensiallikning. GeoGebra CAS gir den generelle løsningen (linje 2 i utklippet):

s (t) = c_{1} \cdot e^{- 0,08 t} + 325

Vi bruker initialbetingelsen $s (0) = 0$ til å bestemme $c_{1}$ :

c_{1} \cdot e^{0} + 325 = 0 \Rightarrow c_{1} = - 325

Dette gir den partikulære løsningen (linje 3, med kontroll $s (0) = 0$ på linje 4):

s (t) = 325 - 325 \cdot e^{- 0,08 t}

Tilbakelagt strekning den første timen. Vi setter $t = 1$ inn i $s (t)$ , se linje 5 i utklippet:

s (1) = 325 - 325 \cdot e^{- 0,08} \approx 24,99

Roger sykler altså om lag $24,99 km$ den første timen.

Tid brukt på 125 km. Vi løser likningen $s (t) = 125$ med hensyn på $t$ , se linje 6 i utklippet:

325 - 325 \cdot e^{- 0,08 t} = 125 \Rightarrow t \approx 6,06885

Roger bruker altså om lag $6,07 timer$ (ca. $6 timer og 4 minutter$ ) på å sykle $125 km$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2015, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Integrasjon

Sykkeltur med differensiallikning og tilbakelagt vei

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sykkeltur med differensiallikning og tilbakelagt vei

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sykkeltur med differensiallikning og tilbakelagt vei

Sykkeltur med differensiallikning og tilbakelagt vei

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer