Løpestrekningen $A\to C$. Siden $\angle AOC=\theta$ og radien i bassenget er $r={\displaystyle \frac{AB}{2}}=20\mathrm{m}$, er lengden av sirkelbuen fra $A$ til $C$ gitt ved

Med løpefart $2k\mathrm{m}/\mathrm{s}$ blir tiden

Svømmestrekningen $C\to B$. Trekanten $OCB$ er likebeint med $OC=OB=r=20$. Siden $\angle AOB=\pi$ (rett vinkel-summen for diameteren) og $\angle AOC=\theta$, er

$M$ er midtpunktet på $CB$, og $OM$ står normalt på $CB$ og halverer $\angle COB$ (egenskap ved likebeinte trekanter). Dermed er $\angle BOM={\displaystyle \frac{\pi -\theta }{2}}$, slik oppgaven opplyser. I den rettvinklede trekanten $OMB$ (rett vinkel i $M$) er

Siden $M$ er midtpunkt på $CB$, er $CB=2\cdot MB=40\sin \left({\displaystyle \frac{\pi -\theta }{2}}\right)$. Med svømmefart $k\mathrm{m}/\mathrm{s}$ blir tiden

Total tid. Summen av løpe- og svømmetiden gir

som var det som skulle vises.

Siden ${\displaystyle \frac{\pi -\theta }{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\theta }{2}}$, kan $T$ skrives om med kofunksjonsidentiteten $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\theta }{2}})=\cos \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)$:

Vi deriverer og løser $T^{\prime }(\theta )=0$ i GeoGebra CAS.

Av skjermbildet ser vi

Er dette et minimum? Siden ${\displaystyle \frac{\theta }{2}}\in [0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ er $\sin \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)$ voksende på hele intervallet, så $T^{\prime }(\theta )$ er avtagende: $T^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{10}{k}}>0$ og $T^{\prime }(\pi )={\displaystyle \frac{10-20}{k}}=-{\displaystyle \frac{10}{k}}<0$. Fortegnet til $T^{\prime }$ går altså fra $+$ til $-$ i $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, så dette er et toppunkt (maksimum) for $T$ — ikke et minimum.

Siden det eneste kritiske punktet i det indre av $[0,\pi ]$ er et maksimum, må minimumet ligge i et av endepunktene. Fra CAS-skjermbildet:

Grafen under (med $k=1$) illustrerer forløpet: $T$ vokser fra $\theta =0$ til toppunktet $({\displaystyle \frac{\pi }{3}},T\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right))$, og avtar deretter helt til $\theta =\pi$ — der verdien er lavere enn i $\theta =0$.

Siden $10\pi <40$, er $T(\pi )<T(0)$, så det globale minimumet av $T$ på $[0,\pi ]$ er i $\theta =\pi$.

Tolkning. $\theta =\pi$ betyr at $C=B$: Thomas svømmer ikke i det hele tatt, men løper hele veien langs kanten (halve bassengomkretsen) fra $A$ til $B$. Selv om løpefarten $2k$ bare er dobbelt så stor som svømmefarten $k$, er halvsirkelbuen ($20\pi \approx \mathrm{62,8}\mathrm{m}$ i dobbel fart) raskere enn å svømme rett over diameteren ($40\mathrm{m}$ i enkel fart), og raskere enn enhver kombinasjon av løping og svømming via et punkt $C$ mellom $A$ og $B$.

Konklusjon: Thomas kommer raskest fram ved å løpe hele veien rundt kanten fra $A$ til $B$ (uten å svømme), med minste tid