Vi undersøker om $f$ er kontinuerlig i $x=-2$ med $a=2$ og $b=-2$.

Venstresiden ($x\le -2$): $f(-2)=2(-2)+(-2)=-6$

Høyresiden ($-2<x$): ${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=2{(-2)}^3+2{(-2)}^2-2(-2)=-16+8+4=-4$

Siden $-6\ne -4$ er ikke grenseverdien lik funksjonsverdien, og $f$ er ikke kontinuerlig i $x=-2$.

Kontinuitet og deriverbarhet i $x=-2$:

Middeldelen i $x=-2$ gir (som beregnet ovenfor):

Venstresiden: $f(-2)=-2a+b$.

Krav om kontinuitet: $-2a+b=-4$ … (1)

For deriverbarhet: middeldelen har $f^{\prime }(x)=6x^2+4x-2$, som gir $f^{\prime }(-2)=6\cdot 4+4\cdot (-2)-2=14$. Venstresiden har $f^{\prime }(x)=a$.

Krav om deriverbarhet: $a=14$ … (2)

Fra (1) og (2): $-2\cdot 14+b=-4⟹b=24$.

Kontinuitet og deriverbarhet i $x=k$:

Middeldelen i $x=k$: $f(k)=2k^3+2k^2-2k$, og høyresiden er konstanten $c$.

Krav om kontinuitet: $c=2k^3+2k^2-2k$ … (3)

For deriverbarhet: høyresiden har $f^{\prime }(x)=0$. Middeldelen: $f^{\prime }(k)=6k^2+4k-2$.

Krav om deriverbarhet: $6k^2+4k-2=0⟹3k^2+2k-1=0⟹(3k-1)(k+1)=0$

Begge verdiene er i $⟨-2,\to ⟩$. Vi beregner $c$ for begge:

• $k={\displaystyle \frac{1}{3}}$: $c=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{27}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{27}}+{\displaystyle \frac{6}{27}}-{\displaystyle \frac{18}{27}}=-{\displaystyle \frac{10}{27}}$

• $k=-1$: $c=2{(-1)}^3+2{(-1)}^2-2(-1)=-2+2+2=2$

Svar:

og enten $\underline{\underline{k={\displaystyle \frac{1}{3}},c=-{\displaystyle \frac{10}{27}}}}$ eller $\underline{\underline{k=-1,c=2}}$.