Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Amalie arbeider med en funksjon $f$ med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.

f (x) = {\begin{matrix} - 9 x - 15, & x \leq - 2 \\ ■ ■ ■ ■, & - 2 < x < 1 \\ \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}, & x \geq 1 \end{matrix}

Hun husker at $f$ er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in ℝ$ . Hun husker også at det midterste uttrykket er et tredjegradspolynom.

Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til $f$ .

Fasit

𝐟 (𝐱) = {\begin{matrix} - 𝟗 𝐱 - 𝟏𝟓, & 𝐱 \leq - 𝟐 \\ - \frac{𝟏𝟑}{𝟐𝟕} 𝐱^{𝟑} + \frac{𝟕}{𝟗} 𝐱^{𝟐} - \frac{𝟏}{𝟗} 𝐱 - \frac{𝟏𝟏𝟑}{𝟐𝟕}, & - 𝟐 < 𝐱 < 𝟏 \\ \frac{𝐱^{𝟐}}{𝟐} - 𝐱 - \frac{𝟕}{𝟐}, & 𝐱 \geq 𝟏 \end{matrix}

LøsningsforslagKI-generert

For at $f$ skal være kontinuerlig og deriverbar i $x = - 2$ og $x = 1$ , må det midterste uttrykket $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ oppfylle fire krav:

Kontinuitet i $x = - 2$ : $g (- 2) = f_{1} (- 2)$
Deriverbarhet i $x = - 2$ : $g^{'} (- 2) = f_{1}^{'} (- 2)$
Kontinuitet i $x = 1$ : $g (1) = f_{3} (1)$
Deriverbarhet i $x = 1$ : $g^{'} (1) = f_{3}^{'} (1)$

Beregn grenseverdiene fra de kjente uttrykkene:

$f_{1} (x) = - 9 x - 15 ⟹ f_{1} (- 2) = 18 - 15 = 3$ og $f_{1}^{'} (- 2) = - 9$

$f_{3} (x) = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2} ⟹ f_{3} (1) = \frac{1}{2} - 1 - \frac{7}{2} = - 4$ og $f_{3}^{'} (x) = x - 1 ⟹ f_{3}^{'} (1) = 0$

Sett opp likningssystemet med $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ og $g^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ :

{\begin{matrix} g (- 2) = - 8 a + 4 b - 2 c + d & = 3 \\ g^{'} (- 2) = 12 a - 4 b + c & = - 9 \\ g (1) = a + b + c + d & = - 4 \\ g^{'} (1) = 3 a + 2 b + c & = 0 \end{matrix}

Løs i GeoGebra CAS:

Løs({-8a1 + 4b1 - 2c1 + d1 = 3, 12a1 - 4b1 + c1 = -9,
     a1 + b1 + c1 + d1 = -4, 3a1 + 2b1 + c1 = 0}, {a1, b1, c1, d1})

GeoGebra CAS løser likningssystemet og gir a = −13/27, b = 7/9, c = −1/9, d = −113/27

GeoGebra gir:

a = - \frac{13}{27}, b = \frac{7}{9}, c = - \frac{1}{9}, d = - \frac{113}{27}

Det midterste uttrykket er altså:

g (x) = - \frac{13}{27} x^{3} + \frac{7}{9} x^{2} - \frac{1}{9} x - \frac{113}{27}

Hele funksjonsuttrykket er:

f (x) = {\begin{matrix} - 9 x - 15, & x \leq - 2 \\ - \frac{13}{27} x^{3} + \frac{7}{9} x^{2} - \frac{1}{9} x - \frac{113}{27}, & - 2 < x < 1 \\ \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}, & x \geq 1 \end{matrix}

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Likningssystemet kan løses for hånd med innsettingsmetoden i stedet for CAS. Vi starter med likning 4 og løser den for $c$ :

3 a + 2 b + c = 0 \Rightarrow c = - 3 a - 2 b

Vi setter dette inn i likning 2:

12 a - 4 b + (- 3 a - 2 b) = - 9 \Rightarrow 9 a - 6 b = - 9 \Rightarrow 3 a - 2 b = - 3

Videre setter vi $c = - 3 a - 2 b$ inn i likning 1 og likning 3, og løser begge med hensyn på $d$ :

- 8 a + 4 b - 2 (- 3 a - 2 b) + d = 3 \Rightarrow - 2 a + 8 b + d = 3 \Rightarrow d = 3 + 2 a - 8 b

a + b + (- 3 a - 2 b) + d = - 4 \Rightarrow - 2 a - b + d = - 4 \Rightarrow d = - 4 + 2 a + b

Vi setter de to uttrykkene for $d$ like hverandre:

3 + 2 a - 8 b = - 4 + 2 a + b \Rightarrow - 4 + b = 3 - 8 b \Rightarrow 9 b = 7 \Rightarrow b = \frac{7}{9}

Vi setter $b = \frac{7}{9}$ inn i $3 a - 2 b = - 3$ :

3 a - \frac{14}{9} = - 3 \Rightarrow 3 a = - 3 + \frac{14}{9} = - \frac{13}{9} \Rightarrow a = - \frac{13}{27}

Deretter finner vi $c$ og $d$ ved innsetting:

c = - 3 a - 2 b = - 3 \cdot (- \frac{13}{27}) - 2 \cdot \frac{7}{9} = \frac{13}{9} - \frac{14}{9} = - \frac{1}{9}

d = - 4 + 2 a + b = - 4 + 2 \cdot (- \frac{13}{27}) + \frac{7}{9} = - 4 - \frac{26}{27} + \frac{21}{27} = - \frac{113}{27}

Vi får samme verdier som med CAS: $a = - \frac{13}{27}$ , $b = \frac{7}{9}$ , $c = - \frac{1}{9}$ , $d = - \frac{113}{27}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som setter opp likningssettet, men ikke klarer å finne funksjonen kan få 2 poeng. En kandidat som finner verdiene som skal brukes i likningene, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2025, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Kontinuitet, Derivasjon, Funksjoner, Delt forskrift, Likningssystem
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner
Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer

Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer