Hvert av uttrykkene $-x^2+(2+k)x$ og $x^2+(2-k)x$ er polynomer, og polynomer er kontinuerlige overalt. Det eneste stedet vi må sjekke kontinuitet spesielt er i bruddpunktet $x=k$.

$f$ er kontinuerlig i $x=k$ hvis og bare hvis

Vi beregner grenseverdiene:

Alle tre er lik $2k$ for alle verdier av $k$. Dermed er $f$ kontinuerlig i $x=k$ for alle $k\in ℝ$, og siden hvert deluttrykk er et polynom, er $f$ kontinuerlig for alle $k$.

For at $f$ skal være deriverbar i $x=k$ må venstre- og høyrederiverte være like.

Vi deriverer hvert deluttrykk:

Vi setter venstre- og høyrederiverte like (se linje 10 i CAS-utklippet):

$f$ har en omvendt funksjon hvis og bare hvis $f$ er strengt monoton (enten strengt voksende eller strengt avtagende) på hele $ℝ$.

Strengt avtagende er ikke mulig: $f_1(x)=-x^2+(2+k)x$ er en nedovervendt parabel med toppunkt i $x=\frac{2+k}{2}$. For $x<k$ og $k<\frac{2+k}{2}$ (dvs. $k<2$) er $f_1$ voksende i deler av $(-\infty ,k)$, og for $k\ge 2$ er toppunktet utenfor $(-\infty ,k)$, men da er $f_2$ oppovervendt og voksende på $[k,\infty )$. En strengt avtagende $f$ er dermed ikke mulig for noe $k$.

Strengt voksende krever to ting:

1. $f_1$ må være voksende på hele $(-\infty ,k)$: $f_1$ er voksende til venstre for toppunktet $x=\frac{2+k}{2}$, så vi trenger

2. $f_2$ må være voksende på hele $[k,\infty )$: $f_2$ er en oppovervendt parabel med bunnpunkt i $x=\frac{k-2}{2}$, og er voksende til høyre for bunnpunktet, så vi trenger

Kontinuiteten i $x=k$ er allerede sikret (vist i a), så det er tilstrekkelig at begge delene er voksende.

$f$ har omvendt funksjon for $\underline{\underline{k\in [-2,2]}}$.