Strategi og geometri

Trekanten ABC er likebeint og rettvinklet med rett vinkel i C og hypotenuse $AB = 2a$. Siden vinklene A og B er $45\degree$, er katetetene $AC = BC = a$. Vi plasserer trekanten med C i origo, slik at A $= (-a, 0)$ og B $= (a, 0)$ (eller med koordinatsystem som i oppgaven).

Andreas og Markus foreslår å bruke datamaskinen til å tegne trekanter og rektangler for $a = 2, 3, 4$. La oss følge denne strategien og deretter generalisere.

Sette opp arealfunksjonen

La $x$ være halvbredden av rektangelet (avstanden fra midtpunktet til den ene siden). Da er bredden til rektangelet $2x$.

Trine og Nora sier at linja gjennom B og C er gitt ved $y = -x + a$. Det stemmer: linjen går gjennom $(0, a)$ og $(a, 0)$, og har stigningstall $-1$.

Høyden til rektangelet er $y$-verdien på denne linja ved halvbredde $x$:

$$\text{høyde} = -x + a$$

Arealet av rektangelet er lengde $\cdot$ bredde:

$$A(x) = 2x \cdot (-x + a) = 2x(a - x)$$

Definisjonsområdet er $0 < x < a$ (rektangelet må ligge inni trekanten).

Tabellverdier (a = 2, 3, 4)

For $a = 2$ er $A(x) = 2x(2-x)$:

Lengde rektangel ($2x$)	Halvbredde $x$	Høyde $y = -x+a$	Areal
2	1	1	2

For $a = 3$ er $A(x) = 2x(3-x)$:

Lengde rektangel ($2x$)	Halvbredde $x$	Høyde $y = -x+a$	Areal
2	1	2	4
4	2	1	4

For $a = 4$ er $A(x) = 2x(4-x)$:

Lengde rektangel ($2x$)	Halvbredde $x$	Høyde $y = -x+a$	Areal
2	1	3	6
4	2	2	8
6	3	1	6

Vi ser et mønster: størst areal er henholdsvis $2$, $4{,}5$ og $8$, som svarer til $\frac{2^2}{2}$, $\frac{3^2}{2}$ og $\frac{4^2}{2}$.

Generelt bevis med derivasjon

Vi deriverer $A(x) = 2x(a - x) = 2ax - 2x^2$ og setter $A'(x) = 0$.

CAS gir (se skjermbilde):

$$A'(x) = 2(a - x) - 2x = 2a - 4x$$ $$A'(x) = 0 \implies 2a - 4x = 0 \implies x = \frac{a}{2}$$

Siden $A''(x) = -4 < 0$, er $x = \frac{a}{2}$ et toppunkt.

Størst areal oppnås altså når halvbredden er $x = \frac{a}{2}$, det vil si rektangelet har bredde $2 \cdot \frac{a}{2} = a$ og høyde $-\frac{a}{2} + a = \frac{a}{2}$.

Maksimalt areal er:

$$A\!\left(\frac{a}{2}\right) = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \left(a - \frac{a}{2}\right) = a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2}$$

Konklusjon: Det største arealet rektangelet kan få, er $\boldsymbol{\dfrac{a^2}{2}}$. Dette oppnås når rektangelet har bredde $a$ og høyde $\dfrac{a}{2}$, altså når halvbredden er nøyaktig halvparten av $a$.