Strategi og geometri

Trekanten ABC er likebeint og rettvinklet med rett vinkel i C og hypotenuse $AB=2a$. Siden vinklene A og B er $45°$, er katetetene $AC=BC=a$. Vi plasserer trekanten med C i origo, slik at A $=(-a,0)$ og B $=(a,0)$ (eller med koordinatsystem som i oppgaven).

Andreas og Markus foreslår å bruke datamaskinen til å tegne trekanter og rektangler for $a=2,3,4$. La oss følge denne strategien og deretter generalisere.

Sette opp arealfunksjonen

La $x$ være halvbredden av rektangelet (avstanden fra midtpunktet til den ene siden). Da er bredden til rektangelet $2x$.

Trine og Nora sier at linja gjennom B og C er gitt ved $y=-x+a$. Det stemmer: linjen går gjennom $(0,a)$ og $(a,0)$, og har stigningstall $-1$.

Høyden til rektangelet er $y$-verdien på denne linja ved halvbredde $x$:

Arealet av rektangelet er lengde $\cdot$ bredde:

Definisjonsområdet er $0<x<a$ (rektangelet må ligge inni trekanten).

Tabellverdier (a = 2, 3, 4)

For $a=2$ er $A(x)=2x(2-x)$:

Lengde rektangel ($2x$)	Halvbredde $x$	Høyde $y=-x+a$	Areal
2	1	1	2

For $a=3$ er $A(x)=2x(3-x)$:

Lengde rektangel ($2x$)	Halvbredde $x$	Høyde $y=-x+a$	Areal
2	1	2	4
4	2	1	4

For $a=4$ er $A(x)=2x(4-x)$:

Lengde rektangel ($2x$)	Halvbredde $x$	Høyde $y=-x+a$	Areal
2	1	3	6
4	2	2	8
6	3	1	6

Vi ser et mønster: størst areal er henholdsvis $2$, $\mathrm{4,5}$ og $8$, som svarer til $\frac{2^2}{2}$, $\frac{3^2}{2}$ og $\frac{4^2}{2}$.

Generelt bevis med derivasjon

Vi deriverer $A(x)=2x(a-x)=2ax-2x^2$ og setter $A^{\prime }(x)=0$.

CAS gir (se skjermbilde):

Siden $A^{\prime \prime }(x)=-4<0$, er $x=\frac{a}{2}$ et toppunkt.

Størst areal oppnås altså når halvbredden er $x=\frac{a}{2}$, det vil si rektangelet har bredde $2\cdot \frac{a}{2}=a$ og høyde $-\frac{a}{2}+a=\frac{a}{2}$.

Maksimalt areal er:

Konklusjon: Det største arealet rektangelet kan få, er ${\displaystyle \frac{{𝒂}^2}{2}}$. Dette oppnås når rektangelet har bredde $a$ og høyde ${\displaystyle \frac{a}{2}}$, altså når halvbredden er nøyaktig halvparten av $a$.