Strategi: For å speile $P$ om linjen finner vi først fotpunktet $F$ (der normalen fra $P$ treffer linjen), og beregner deretter speilpunktet som $P' = 2\vec{OF} - \vec{OP}$.

Steg 1 – Retningsvektor og et punkt på linjen

Linjen $y = 2x + 4$ har stigningstall $2$, så retningsvektoren er

$$\vec{d} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Vi velger punktet $A(0, 4)$ på linjen (setter $x = 0$).

Steg 2 – Finn fotpunktet $F$ ved projeksjon

Vektoren fra $A$ til $P$ er

$$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$$

Fotpunktet $F$ ligger på linjen og bestemmes ved skalarprojeksjonen av $\vec{AP}$ på $\vec{d}$:

$$t = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|^2} = \frac{6 \cdot 1 + (-3) \cdot 2}{1^2 + 2^2} = \frac{6 - 6}{5} = \frac{0}{5} = 0$$ $$\vec{OF} = \vec{OA} + t\,\vec{d} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$$

Fotpunktet er altså $F(0, 4)$ – som er nettopp punktet $A$ vi valgte. Det betyr at normalen fra $P$ treffer linjen akkurat i $(0, 4)$.

Sjekk: $\vec{FP} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$ og $\vec{d} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Prikkprodukt: $6 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 = 0$ ✓ — de er ortogonale.

Steg 3 – Beregn speilpunktet $P'$

$F$ er midtpunktet mellom $P$ og speilpunktet $P'$, så

$$\vec{OP'} = 2\,\vec{OF} - \vec{OP} = 2\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \end{pmatrix}$$

Speilpunktet er $\underline{\underline{P'(-6,\, 7)}}$.