Sortere og forenkle logaritmeuttrykk R1 V26

Sorter uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge. Husk å begrunne svaret.

\log_2 8 \qquad e^{3\ln 1} \qquad \lg 7 \qquad \sqrt[4]{3^3}

Skriv så enkelt som mulig

\lg(ab) - \lg\frac{a}{b} + \lg(100b^3)

Fasit

$\underline{\underline{\lg 7 < e^{3\ln 1} < \sqrt[4]{3^3} < \log_2 8}}$

$\underline{\underline{5\lg b + 2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi beregner hvert uttrykk eksakt:

\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3

e^{3\ln 1} = e^{3 \cdot 0} = e^0 = 1

For $\lg 7$ bruker vi at $10^0 = 1 < 7 < 10^1 = 10$ , så $0 < \lg 7 < 1$ .

For $\sqrt[4]{3^3} = 3^{3/4}$ bruker vi at $3^{1/2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ og $3^1 = 3$ , og siden $\frac{1}{2} < \frac{3}{4} < 1$ er $\sqrt{3} < 3^{3/4} < 3$ . Mer presist: $3^{3/4} \approx 2{,}28$ .

Stigende rekkefølge:

\textcolor{seagreen}{\lg 7} \approx 0{,}85 \quad < \quad \textcolor{steelblue}{e^{3\ln 1}} = 1 \quad < \quad \textcolor{orange}{3^{3/4}} \approx 2{,}28 \quad < \quad \textcolor{tomato}{\log_2 8} = 3

Stigende rekkefølge: $\underline{\underline{\lg 7 < e^{3\ln 1} < \sqrt[4]{3^3} < \log_2 8}}$

Vi bruker logaritmereglene $\lg(xy) = \lg x + \lg y$ og $\lg\frac{x}{y} = \lg x - \lg y$ :

\begin{aligned} &\lg(ab) - \lg\frac{a}{b} + \lg(100b^3) \\ &= (\lg a + \lg b) - (\lg a - \lg b) + (\lg 100 + 3\lg b) \\ &= \lg a + \lg b - \lg a + \lg b + 2 + 3\lg b \\ &= 5\lg b + 2 \end{aligned}

$\underline{\underline{5\lg b + 2}}$

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: logaritmer
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene