I en by med 12 000 innbyggere sprer det seg en smittsom sykdom. Det viser seg at vekstfarten i antall smittede personer til enhver tid er proporsjonal med antall personer som ennå ikke er smittet. Vi lar $k$ være proporsjonalitetskonstanten.

a)

Sett opp en differensiallikning som beskriver antall smittede personer $y(t)$, der $t$ er antall uker etter at sykdommen ble oppdaget.

Da sykdommen ble oppdaget, var 100 personer smittet.

b)

Vis at $y(t) = 12000 - 11900 \cdot \mathrm{e}^{-kt}$

Etter 10 uker var 4 000 personer smittet.

c)

Bruk dette til å bestemme $k$.

d)

Ved hvilket tidspunkt var halvparten av innbyggerne i byen smittet av sykdommen?