Siden $D$, $C$ og $E$ ligger på $AB$, med $AC=2R$ og $CB=2r$, er

Den ytre halvsirkelen har altså radius $R+r$. Buelengden til en halvsirkel med radius $\rho$ er $\pi \rho$, så

Bue $AC$ er en halvsirkel med radius $R$, som har lengde $\pi R$. Bue $CB$ er en halvsirkel med radius $r$, som har lengde $\pi r$. Dermed er

som skulle vises. $■$

Punktet $H$ ligger på den store halvsirkelen med diameter $AB$. Av periferivinkelsetningen (vinkel i halvsirkel er rett) er da

Siden $CH⟂AB$, er også

I $△ACH$ er vinkelsummen $180°$, som gir

Punktet $C$ ligger mellom $A$ og $B$, og linjestykket $HC$ deler dermed $\angle AHB$ i $\angle AHC$ og $\angle CHB$:

Fra $(\ast )$ og $(\ast \ast )$ følger $\angle CHB=\angle CAH$.

Trekantene $△ACH$ og $△HCB$ har dermed to like vinkler:

• $\angle ACH=\angle HCB=90°$
• $\angle CAH=\angle CHB$

To parvis like vinkler gir formlikhet (AA-kriteriet):

Formlikheten $△ACH\sim △HCB$ (med korrespondanse $A\leftrightarrow H$, $C\leftrightarrow C$, $H\leftrightarrow B$) gir at forholdet mellom tilsvarende sider er likt:

som gir

Siden $AC=2R$ og $CB=2r$:

Sirkelen med diameter $CH$ har radius ${\displaystyle \frac{CH}{2}}=\sqrt{Rr}$, så arealet er

Arealet av skomakerkniven er arealet av den store halvsirkelen minus arealene av de to små halvsirklene:

Dermed er

som skulle vises. $■$