Grafen skjærer $x$-aksen der $f(x) = 0$, altså der

$$x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$$

Vi prøver heltallsrøtter som er delere av konstantleddet $6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

$$f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 \checkmark$$

Siden $x = -1$ er en rot, er $(x + 1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

$$\require{enclose} \begin{array}{r} x^2 + x - 6 \\[-3pt] x+1 \enclose{longdiv}{x^3 + 2x^2 - 5x - 6} \\[-3pt] \underline{-(x^3 + x^2)} \phantom{{}-5x-6} \\[-3pt] x^2 - 5x \phantom{{}-6} \\[-3pt] \underline{-(x^2 + x)} \phantom{{}-6} \\[-3pt] -6x - 6 \\[-3pt] \underline{-(-6x - 6)} \\[-3pt] 0 \end{array}$$

Vi kan altså skrive

$$x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x^2 + x - 6)$$

Andregradsuttrykket $x^2 + x - 6$ faktoriserer vi:

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$ $$x = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \qquad \text{eller} \qquad x = \frac{-1 - 5}{2} = -3$$

Dermed er

$$x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x - 2)(x + 3)$$

og likningen $f(x) = 0$ har løsningene $x = -1$, $x = 2$ og $x = -3$.

Grafen skjærer $x$-aksen i punktene $\underline{\underline{(-3, 0)}}$, $\underline{\underline{(-1, 0)}}$ og $\underline{\underline{(2, 0)}}$.