Skjæringspunkter med x-aksen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6

I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen $x$ -aksen?

Fasit

Skjæringspunkter med $x$ -aksen: $(- 3, 0)$ , $(- 1, 0)$ og $(2, 0)$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen skjærer $x$ -aksen der $f (x) = 0$ , altså der

x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = 0

Vi prøver heltallsrøtter som er delere av konstantleddet $6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ .

f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 5 (- 1) - 6 = - 1 + 2 + 5 - 6 = 0 ✓

Siden $x = - 1$ er en rot, er $(x + 1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

\begin{matrix} (x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 & ) : (x + 1) = x^{2} + x - 6 \\ x^{3} + 1 x^{2} + 0 x + 0 \\ 1 x^{2} - 5 x - 6 \\ 1 x^{2} + 1 x + 0 \\ - 6 x - 6 \\ - 6 x - 6 \\ 0 \end{matrix}

Vi kan altså skrive

x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = (x + 1) (x^{2} + x - 6)

Andregradsuttrykket $x^{2} + x - 6$ faktoriserer vi:

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{- 1 \pm 5}{2}

x = \frac{- 1 + 5}{2} = 2 eller x = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3

Dermed er

x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = (x + 1) (x - 2) (x + 3)

og likningen $f (x) = 0$ har løsningene $x = - 1$ , $x = 2$ og $x = - 3$ .

Grafen skjærer $x$ -aksen i punktene $(- 3, 0)$ , $(- 1, 0)$ og $(2, 0)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som finner ett nullpunkt ved «prøving og feiling», får 1 poeng. En kandidat som faktoriserer uttrykket, men ikke bestemmer nullpunktene, får 2 poeng.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 eller 2 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2023, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Faktorisering, Polynomdivisjon, Røtter
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Skjæringspunkter med x-aksen

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Skjæringspunkter med x-aksen

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Skjæringspunkter med x-aksen

Skjæringspunkter med x-aksen

Lov på eksamen

Temaer