Siden $f$ er en tredjegradsfunksjon, er $f^{\prime }$ en andregradsfunksjon — grafen til $f^{\prime }$ er en parabel.

Vi leser av tre opplysninger fra oppgaveteksten:

Nullpunkter for $f^{\prime }$: Der $f$ har topp- eller bunnpunkt, er stigningstallet til $f$ lik null. Derfor er $f^{\prime }(-2)=0$ og $f^{\prime }(4)=0$.

$f^{\prime }$ har altså nullpunkter i $x=-2$ og $x=4$.

Fortegn for $f^{\prime }$: For en tredjegradsfunksjon som går fra bunnpunkt til toppunkt (slik grafen gjør fra $x=-2$ til $x=4$), er stigningstallet positivt mellom ekstremalpunktene. Dermed er $f^{\prime }(x)>0$ for $x\in ⟨-2,4⟩$.

Parabelen er nedåpent (åpner nedover): $f^{\prime }(x)<0$ for $x<-2$ og for $x>4$.

Toppunktet for $f^{\prime }$: Tangentlikningen i punktet $(1,7)$ er $y=9x-2$, som har stigning $9$. Derfor er $f^{\prime }(1)=9$.

Vi kan bestemme $f^{\prime }$ eksakt: siden $f^{\prime }$ har nullpunkter i $x=-2$ og $x=4$, skriver vi

Betingelsen $f^{\prime }(1)=9$ gir

Altså er $f^{\prime }(x)=-(x+2)(x-4)=-x^2+2x+8$.

Toppunktet for $f^{\prime }$ ligger ved $x=1$ (midtpunkt mellom nullpunktene), med $f^{\prime }(1)=9$.

Skissen av $f^{\prime }$ er en nedåpent parabel som:

• krysser $x$-aksen i $x=-2$ og $x=4$
• har toppunkt i $(1,9)$
• er positiv mellom nullpunktene og negativ utenfor