Siden $f$ er en tredjegradsfunksjon, er $f'$ en andregradsfunksjon — grafen til $f'$ er en parabel.

Vi leser av tre opplysninger fra oppgaveteksten:

Nullpunkter for $f'$: Der $f$ har topp- eller bunnpunkt, er stigningstallet til $f$ lik null. Derfor er $f'(-2) = 0$ og $f'(4) = 0$.

$f'$ har altså nullpunkter i $x = -2$ og $x = 4$.

Fortegn for $f'$: For en tredjegradsfunksjon som går fra bunnpunkt til toppunkt (slik grafen gjør fra $x=-2$ til $x=4$), er stigningstallet positivt mellom ekstremalpunktene. Dermed er $f'(x) > 0$ for $x \in \langle -2, 4 \rangle$.

Parabelen er nedåpent (åpner nedover): $f'(x) < 0$ for $x < -2$ og for $x > 4$.

Toppunktet for $f'$: Tangentlikningen i punktet $(1, 7)$ er $y = 9x - 2$, som har stigning $9$. Derfor er $f'(1) = 9$.

Vi kan bestemme $f'$ eksakt: siden $f'$ har nullpunkter i $x = -2$ og $x = 4$, skriver vi

$$f'(x) = a(x+2)(x-4)$$

Betingelsen $f'(1) = 9$ gir

$$a(1+2)(1-4) = a \cdot 3 \cdot (-3) = -9a = 9 \implies a = -1$$

Altså er $f'(x) = -(x+2)(x-4) = -x^2 + 2x + 8$.

Toppunktet for $f'$ ligger ved $x = 1$ (midtpunkt mellom nullpunktene), med $f'(1) = 9$.

Skissen av $f'$ er en nedåpent parabel som:

• krysser $x$-aksen i $x = -2$ og $x = 4$
• har toppunkt i $(1, 9)$
• er positiv mellom nullpunktene og negativ utenfor