Skalarprodukt og parallellogram med fire hjørnepunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (0, 0)$ , $B (6, 0)$ , $C (4, 4)$ og $D (t, 4)$ er hjørner i $□ A B C D$ .

Firekantet figur ABCD med hjørnepunktene A, B, C og D

For hånd

Bruk skalarprodukt til å bestemme $∠ B A C$ .

For hånd

Bestem $t$ slik at $□ A B C D$ blir et parallellogram.

For hånd

Bestem $t$ ved regning slik at $A C ⟂ B D$ .

Fasit

$∠ B A C = 45 °$

$t = - 2$

$t = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker CAS for utregningene, se skjermbilde under.

Løsning med GeoGebra CAS

Vinkelen $∠ B A C$ er vinkelen mellom vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ :

\vec{A B} = (6, 0), \vec{A C} = (4, 4)

Skalarproduktet blir

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6 \cdot 4 + 0 \cdot 4 = 24

Lengdene er $| \vec{A B} | = 6$ og $| \vec{A C} | = 4 \sqrt{2}$ . Da får vi

\cos (∠ B A C) = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} |} = \frac{24}{6 \cdot 4 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

som gir $∠ B A C = 45 °$ , se vinkelBAC i utklippet.

Svar: $∠ B A C = 45 °$

I et parallellogram $A B C D$ er motstående sider $\vec{A B}$ og $\vec{D C}$ like vektorer:

\vec{A B} = \vec{D C}

Vi har $\vec{A B} = (6, 0)$ og $\vec{D C} = C - D = (4 - t, 0)$ . Likningen for $x$ -komponenten blir

6 = 4 - t

som CAS løser til $t = - 2$ (se tb i utklippet).

Svar: $t = - 2$

Diagonalene er ortogonale når skalarproduktet deres er null:

\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 0

Vi har $\vec{A C} = (4, 4)$ og $\vec{B D} = D - B = (t - 6, 4)$ . Da blir

\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 4 (t - 6) + 4 \cdot 4 = 4 t - 8

Vi løser likningen $4 t - 8 = 0$ , se skalarproduktC og tc i utklippet, og finner $t = 2$ .

Svar: $t = 2$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Rekkefølgen av hjørnene $A B C D$ mot klokka gir bare én løsning for $t$ . Et godt resonnement knyttet til figuren, uten regning, bør gi full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2012, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Skalarprodukt, Geometri

Skalarprodukt og parallellogram med fire hjørnepunkter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Skalarprodukt og parallellogram med fire hjørnepunkter

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Skalarprodukt og parallellogram med fire hjørnepunkter

Skalarprodukt og parallellogram med fire hjørnepunkter

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer