Sideflater, hjørner og sidekanter i platonske romlegemer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Platon (ca. 428 f.Kr.–ca. 347 f.Kr.) var en berømt gresk filosof. Han var også matematiker og grunnla et berømt akademi i Athen. Fra Platon har vi navnet på de platonske romlegemene.

I et platonsk romlegeme er alle sideflatene regulære mangekanter og helt like (kongruente). Antall sideflater i romlegemet er $F$ , antall hjørner er $H$ og antall sidekanter er $K$ .

Nedenfor ser du tre av de platonske romlegemene.

Tre platonske romlegemer. Figur 1 er et tetraeder, figur 2 et heksaeder (terning) og figur 3 et oktaeder

For hånd

Skriv av tabellen nedenfor, og fyll inn tallene som mangler.

	Antall sideflater $F$	Antall hjørner $H$	Antall sidekanter $K$
Tetraeder	4	4	6
Heksaeder
Oktaeder

For hånd

Regn ut $F + H - K$ for hvert av romlegemene. Lag en regel.

Fasit

Heksaeder: $F = 6$ , $H = 8$ , $K = 12$ . Oktaeder: $F = 8$ , $H = 6$ , $K = 12$ .

$F + H - K = 2$ for alle tre romlegemene.

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller sideflater, hjørner og sidekanter på figurene.

Heksaeder (terning): En terning har 6 kvadratiske sideflater ( $F = 6$ ), 8 hjørner ( $H = 8$ ) og 12 sidekanter ( $K = 12$ ).

Oktaeder: Et oktaeder har 8 trekantede sideflater ( $F = 8$ ), 6 hjørner ( $H = 6$ ) og 12 sidekanter ( $K = 12$ ).

Den utfylte tabellen blir da:

	Antall sideflater $F$	Antall hjørner $H$	Antall sidekanter $K$
Tetraeder	4	4	6
Heksaeder	6	8	12
Oktaeder	8	6	12

Vi regner ut $F + H - K$ for hvert romlegeme, med tallene fra tabellen i a):

\begin{matrix} Tetraeder: F + H - K & = 4 + 4 - 6 = 2 \\ Heksaeder: F + H - K & = 6 + 8 - 12 = 2 \\ Oktaeder: F + H - K & = 8 + 6 - 12 = 2 \end{matrix}

Alle tre romlegemene gir samme svar. Regelen ser ut til å være at for et platonsk romlegeme er

F + H - K = 2

Dette kalles Eulers polyederformel, og den gjelder faktisk for alle konvekse polyedre, ikke bare de platonske romlegemene.

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2015, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Romgeometri, Mønstre, Utforskning

Sideflater, hjørner og sidekanter i platonske romlegemer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sideflater, hjørner og sidekanter i platonske romlegemer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sideflater, hjørner og sidekanter i platonske romlegemer

Sideflater, hjørner og sidekanter i platonske romlegemer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer