Separabel differensiallikning og verifisering av løsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y^{'} = \frac{2 x^{2}}{y}, y (0) = 3

Avgjør om $y = 2 \sin (3 x) + x$ er en løsning av differensiallikningen

y^{''} + 9 y = 9 x

Fasit

$y = \sqrt{\frac{4 x^{3}}{3} + 9}$

$Ja, y = 2 \sin (3 x) + x er en løsning$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har den separable differensiallikningen

\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{y}

Vi separerer variablene ved å multiplisere begge sider med $y$ :

y d y = 2 x^{2} d x

Deretter integrerer vi begge sider:

\int y d y = \int 2 x^{2} d x

\frac{y^{2}}{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + C_{1}

Vi ganger med $2$ og skriver om konstanten:

y^{2} = \frac{4 x^{3}}{3} + C

Vi bruker startbetingelsen $y (0) = 3$ til å bestemme $C$ :

3^{2} = \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 9

Dermed er

y^{2} = \frac{4 x^{3}}{3} + 9

Siden $y (0) = 3 > 0$ , velger vi den positive løsningen:

y = \sqrt{\frac{4 x^{3}}{3} + 9}

Vi skal avgjøre om $y = 2 \sin (3 x) + x$ løser $y^{''} + 9 y = 9 x$ . Vi deriverer $y$ to ganger.

y^{'} = 6 \cos (3 x) + 1

y^{''} = - 18 \sin (3 x)

Vi setter $y$ og $y^{''}$ inn i venstre side av differensiallikningen:

y^{''} + 9 y = - 18 \sin (3 x) + 9 (2 \sin (3 x) + x)

= - 18 \sin (3 x) + 18 \sin (3 x) + 9 x = 9 x

Venstre side blir lik høyre side $9 x$ for alle $x$ , så $y = 2 \sin (3 x) + x$ er en løsning av differensiallikningen.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2022, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Trigonometri

Innstillinger