Separabel differensiallikning og tangentlikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt differensiallikningen

y^{'} = 2 x \cdot y^{2}

Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.

En av integralkurvene går gjennom punktet $(2, 1)$ .

Bestem likningen for tangenten til løsningskurven i dette punktet.

Fasit

$y = \frac{- 1}{x^{2} + C}$

$y = 4 x - 7$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen $y^{'} = 2 x \cdot y^{2}$ er separabel. Vi skiller variablene:

\frac{1}{y^{2}} d y = 2 x d x

Integrerer på begge sider:

\int y^{- 2} d y = \int 2 x d x

- \frac{1}{y} = x^{2} + C

Løser med hensyn på $y$ :

y = \frac{- 1}{x^{2} + C}

Løsningskurven går gjennom $(2, 1)$ , så vi setter inn $x = 2$ og $y = 1$ for å bestemme $C$ :

1 = \frac{- 1}{4 + C}

4 + C = - 1 \Rightarrow C = - 5

Løsningen blir da

y = \frac{- 1}{x^{2} - 5} = \frac{1}{5 - x^{2}}

Stigningstallet til tangenten er $y^{'} (2)$ . Vi bruker differensiallikningen direkte:

y^{'} (2) = 2 \cdot 2 \cdot y {(2)}^{2} = 4 \cdot 1^{2} = 4

Tangentlikningen i punktet $(2, 1)$ blir da

y - 1 = 4 (x - 2)

y = 4 x - 7

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2021, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Derivasjon

Innstillinger