Sannsynlighet for kuler med og uten tilbakelegging

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Maria vil legge to røde og to blå kuler i en kopp.

Hun vil trekke to kuler fra koppen tilfeldig.
Hun vil ikke legge tilbake den første kula før hun trekker den neste.

Tegn et valgtre, gjør beregninger, og avgjør hvilken av påstandene nedenfor som er riktig.

Påstand 1: Det er mest sannsynlig at hun kommer til å trekke to kuler med samme farge.

Påstand 2: Det er mest sannsynlig at hun kommer til å trekke to kuler med ulik farge.

Påstand 3: Sannsynligheten for at hun kommer til å trekke to kuler med samme farge, er like stor som sannsynligheten for at hun kommer til å trekke to kuler med ulik farge.

Gjør beregninger, og avgjør hvilken av påstandene ovenfor som er riktig dersom Maria i stedet legger tre røde og én blå kule i koppen og trekker to kuler på samme måte som beskrevet ovenfor.

Fasit

Påstand 2 er riktig: $P(\text{ulik farge}) = \dfrac{2}{3}$

Påstand 3 er riktig: $P(\text{samme farge}) = P(\text{ulik farge}) = \dfrac{1}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Det er 4 kuler i koppen: 2 røde (R) og 2 blå (B). Vi trekker 2 kuler uten tilbakelegging.

Vi setter opp et valgtre med alle mulige utfall:

Første trekk:

$P(\text{R}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
$P(\text{B}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

Andre trekk (etter rød): Det er nå 3 kuler igjen: 1 rød og 2 blå.

$P(\text{R} \mid \text{første = R}) = \dfrac{1}{3}$
$P(\text{B} \mid \text{første = R}) = \dfrac{2}{3}$

Andre trekk (etter blå): Det er nå 3 kuler igjen: 2 røde og 1 blå.

$P(\text{R} \mid \text{første = B}) = \dfrac{2}{3}$
$P(\text{B} \mid \text{første = B}) = \dfrac{1}{3}$

Sannsynligheter for hvert utfall:

P(\text{RR}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

P(\text{RB}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P(\text{BR}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P(\text{BB}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

Sannsynlighet for samme farge:

P(\text{samme farge}) = P(\text{RR}) + P(\text{BB}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Sannsynlighet for ulik farge:

P(\text{ulik farge}) = P(\text{RB}) + P(\text{BR}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Siden $\dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{3}$ , er det mest sannsynlig å trekke to kuler med ulik farge.

Påstand 2 er riktig: $\underline{\underline{P(\text{ulik farge}) = \dfrac{2}{3}}}$

Nå er det 4 kuler i koppen: 3 røde (R) og 1 blå (B). Vi trekker 2 kuler uten tilbakelegging.

Første trekk:

$P(\text{R}) = \dfrac{3}{4}$
$P(\text{B}) = \dfrac{1}{4}$

Andre trekk (etter rød): Det er nå 3 kuler igjen: 2 røde og 1 blå.

$P(\text{R} \mid \text{første = R}) = \dfrac{2}{3}$
$P(\text{B} \mid \text{første = R}) = \dfrac{1}{3}$

Andre trekk (etter blå): Det er nå 3 kuler igjen: 3 røde og 0 blå.

$P(\text{R} \mid \text{første = B}) = \dfrac{3}{3} = 1$
$P(\text{B} \mid \text{første = B}) = \dfrac{0}{3} = 0$

Sannsynligheter for hvert utfall:

P(\text{RR}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

P(\text{RB}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

P(\text{BR}) = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}

P(\text{BB}) = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0

Sannsynlighet for samme farge:

P(\text{samme farge}) = P(\text{RR}) + P(\text{BB}) = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}

Sannsynlighet for ulik farge:

P(\text{ulik farge}) = P(\text{RB}) + P(\text{BR}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Siden $P(\text{samme farge}) = P(\text{ulik farge}) = \dfrac{1}{2}$ , er sannsynlighetene like store.

Påstand 3 er riktig: $\underline{\underline{P(\text{samme farge}) = P(\text{ulik farge}) = \dfrac{1}{2}}}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Sannsynlighet for kuler med og uten tilbakelegging

Sync på tvers av enheter

Sannsynlighet for kuler med og uten tilbakelegging

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave