Salg av iste

En bedrift produserer iste. Funksjonen gitt ved

F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x

er en modell som viser hvor mange flasker av isteen bedriften regner med å selge hver måned fra og med desember 2024.

For å regne ut salget i desember 2024 kan vi sette $x = 0$ , for å regne ut salget i januar 2025 kan vi sette $x = 1$ , og så videre.

Vis hvordan du på to ulike måter kan svare på spørsmål 1) og på spørsmål 2) nedenfor.

Hvor mange flasker iste regner bedriften med å selge i desember 2025 ifølge modellen?
Når vil bedriften for første gang selge mer enn 2000 flasker iste i løpet av en måned ifølge modellen?

Hvor mange prosent vil salget øke med fra desember 2024 til desember 2026 ifølge modellen?

Fasit

Des. 2025: $\approx 1051$ flasker; selger $> 2000$ fra mars 2027 ( $x = 27$ )

$\approx 188 \,\%$ økning

Løsningsforslag

Metode 1 – bruke modellen direkte:

Desember 2025 er 12 måneder etter desember 2024, så vi setter $x = 12$ :

F(12) = 620 \cdot 1{,}045^{12} \approx 1051 \text{ flasker}

For å finne når salget overstiger 2000 flasker løser vi $F(x) > 2000$ :

620 \cdot 1{,}045^x = 2000 \implies 1{,}045^x = \frac{2000}{620} \approx 3{,}226

x = \frac{\lg 3{,}226}{\lg 1{,}045} \approx 26{,}6

Det vil si at fra og med $x = 27$ (mars 2027) vil salget overstige 2000 flasker.

Metode 2 – grafisk løsning:

Vi tegner $F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x$ og leser av. For spørsmål 1 leser vi av $y$ -verdien ved $x = 12$ (grønt punkt). For spørsmål 2 finner vi skjæringspunktet mellom $F(x)$ og linjen $y = 2000$ (rødt punkt).

$Graf av F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x med y = 2000 og x = 12 markert$

Fra grafen leser vi av:

I desember 2025 regner bedriften med å selge omtrent $\underline{\underline{1051 \text{ flasker}}}$ iste.
Fra og med $x = 27$ , som tilsvarer mars 2027, vil bedriften for første gang selge mer enn $\underline{\underline{2000 \text{ flasker}}}$ i løpet av en måned.

Fra desember 2024 ( $x = 0$ ) til desember 2026 ( $x = 24$ ):

F(0) = 620 \qquad F(24) = 620 \cdot 1{,}045^{24} \approx 1783

\text{Prosentvis økning} = \frac{F(24) - F(0)}{F(0)} \cdot 100 = \frac{1783 - 620}{620} \cdot 100 \approx 187{,}6 \,\%

Vi kan også bruke at vekstfaktoren over 24 måneder er $1{,}045^{24} \approx 2{,}876$ , dvs. $188 \,\%$ økning.

Salget vil øke med omtrent $\underline{\underline{188 \,\%}}$ fra desember 2024 til desember 2026.

Sensorveiledning

I utgangspunktet gis 1 poeng for hver framgangsmåte som fører fram til riktig svar.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

For å få uttelling, må kandidaten regne med riktig grunnlag.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: eksponentialfunksjoner, prosentvis endring i flere perioder
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy