Rettvinklet trekant med CAS og likningssystem for sidelengder

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rettvinklet trekant ABC med høyde 6

Gitt $Δ A B C$ ovenfor. Vi setter sidene i trekanten lik $a$ , $b$ og $c$ . Trekanten har omkrets 30. Høyden fra $C$ på $A B$ er 6.

For hånd

Forklar hvorfor vi kan sette opp følgende likningssystem for å bestemme $a$ , $b$ og $c$ .

{\begin{matrix} a + b + c = 30 \\ a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ a b = 6 c \end{matrix}

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

Se forklaring.

$a = 10, b = 7,5, c = 12,5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på $Δ A B C$ , der $C = 90 °$ .

Første likning kommer rett fra at omkretsen er summen av de tre sidelengdene:

a + b + c = 30

Andre likning er Pytagoras’ setning. Siden vinkelen i $C$ er $90 °$ , er $c$ hypotenusen (siden motstående et rett vinkel), mens $a$ og $b$ er katetene:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Tredje likning kommer av at arealet av trekanten kan regnes ut på to måter:

Med $A B = c$ som grunnlinje og høyden $6$ : $T = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 6$
Med katetene $a$ og $b$ som grunnlinje og høyde (siden de står normalt på hverandre i $C$ ): $T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Arealet er det samme uansett hvilken formel vi bruker, så

\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 6 \Rightarrow a b = 6 c

Dermed får vi likningssystemet

{\begin{matrix} a + b + c = 30 \\ a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ a b = 6 c \end{matrix}

Vi løser likningssystemet med CAS i GeoGebra:

Løs ({a + b + c = 30, a^{2} + b^{2} = c^{2}, a b = 6 c}, {a, b, c})

CAS-løsning av likningssystemet

CAS gir to løsninger: ${a = 7,5, b = 10, c = 12,5}$ og ${a = 10, b = 7,5, c = 12,5}$ . De to løsningene er speilbilder av hverandre (bytter bare navn på de to katetene). Ut fra figuren er $a$ den lengste kateten, så vi velger

a = 10, b = 7,5, c = 12,5

Oppgavedata

Hentet fra: 1T E2015, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Likningssystem, Geometri, Pytagoras, CAS

Rettvinklet trekant med CAS og likningssystem for sidelengder

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rettvinklet trekant med CAS og likningssystem for sidelengder

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rettvinklet trekant med CAS og likningssystem for sidelengder

Rettvinklet trekant med CAS og likningssystem for sidelengder

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer