Rett linje gjennom to punkter og derivasjon ved definisjonen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem likningen for den rette linjen som går gjennom punktene $(1, 2)$ og $(2, 4)$ .

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2} + 4

Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f^{'} (x) = 2 x$ .

Fasit

$y = 2 x$

Vist at $f^{'} (x) = 2 x$ ved definisjonen av den deriverte.

LøsningsforslagKI-generert

Stigningstallet til linjen gjennom $(1, 2)$ og $(2, 4)$ er

a = \frac{4 - 2}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2

Vi bruker punktet $(1, 2)$ og setter opp likningen for linjen:

y - 2 = 2 (x - 1)

y = 2 x - 2 + 2 = 2 x

Vi kontrollerer med det andre punktet: for $x = 2$ gir dette $y = 2 \cdot 2 = 4$ , som stemmer.

$y = 2 x$

Definisjonen av den deriverte sier at

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Vi har $f (x) = x^{2} + 4$ , så

f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 4 = x^{2} + 2 x h + h^{2} + 4

Da blir telleren i brøken

f (x + h) - f (x) = (x^{2} + 2 x h + h^{2} + 4) - (x^{2} + 4) = 2 x h + h^{2}

Vi setter dette inn og forkorter med $h$ :

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{2 x h + h^{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{h} = \lim_{h \to 0} (2 x + h)

Når $h \to 0$ , blir dette

f^{'} (x) = 2 x

$f^{'} (x) = 2 x, som skulle vises$

Oppgavedata

Hentet fra: 1T E2015, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineære funksjoner, Grenseverdi, Derivasjon

Innstillinger