Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Likningen for en rett linje er på formen $y = a x + b$

Forklar at $[1, a]$ er en retningsvektor for linjen.

To rette linjer med stigningstall $a_{1}$ og $a_{2}$ står vinkelrett på hverandre. Vis at da er

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Bestem likningen for en rett linje som står vinkelrett på $y = 2 x - 1$ og som skjærer $y$ -aksen i $y = 5$ .

Tegn de to linjene fra c) inn i samme koordinatsystem.

Fasit

Forklaring, se løsningsforslag.

Vist ved vektorregning, se løsningsforslag.

$y = - \frac{1}{2} x + 5$

Skisse, se løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

To vilkårlige punkter på linjen $y = a x + b$ er $P_{1} = (0, b)$ og $P_{2} = (1, a + b)$ , siden begge oppfyller likningen. Vektoren fra $P_{1}$ til $P_{2}$ er

\vec{P_{1} P_{2}} = [1 - 0, (a + b) - b] = [1, a]

Denne vektoren går mellom to punkter på linjen, og er derfor parallell med linjen. Dermed er $[1, a]$ en retningsvektor for linjen.

Fra a) har linjer med stigningstall $a_{1}$ og $a_{2}$ retningsvektorene

\vec{v_{1}} = [1, a_{1}], \vec{v_{2}} = [1, a_{2}]

To linjer står vinkelrett på hverandre nøyaktig når retningsvektorene deres står vinkelrett på hverandre, altså når skalarproduktet er null:

\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = 1 \cdot 1 + a_{1} \cdot a_{2} = 0

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Linjen $y = 2 x - 1$ har stigningstall $a_{1} = 2$ . En linje vinkelrett på denne har stigningstall $a_{2}$ som oppfyller $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ fra b):

2 \cdot a_{2} = - 1 \Rightarrow a_{2} = - \frac{1}{2}

Linjen skjærer $y$ -aksen i $y = 5$ , så konstantleddet er $b = 5$ . Likningen for linjen blir

y = - \frac{1}{2} x + 5

Vi tegner de to linjene i samme koordinatsystem. Linjen $y = 2 x - 1$ skjærer $y$ -aksen i $(0, - 1)$ og har stigningstall $2$ . Linjen $y = - \frac{1}{2} x + 5$ skjærer $y$ -aksen i $(0, 5)$ og har stigningstall $- \frac{1}{2}$ . De to linjene krysser hverandre i rett vinkel, i samsvar med resultatet fra b).

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2012, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Vektorer, Stigningstall, Lineære funksjoner

Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall

Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall

Lov på eksamen

Temaer