Retningsvektor og vinkelrette linjer bevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To linjer er gitt ved likningene $y = a_{1} \cdot x + b_{1}$ og $y = a_{2} \cdot x + b_{2}$

Forklar at $\vec{v} = [1, a]$ er en retningsvektor til linjen $y = a x + b$ .

Bruk skalarprodukt til å vise at dersom linjene står vinkelrett på hverandre, er $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Fasit

Vist i løsningsforslaget

LøsningsforslagKI-generert

To vilkårlige punkter på linjen $y = a x + b$ finner vi ved å velge to $x$ -verdier. Vi velger $x = 0$ og $x = 1$ .

P_{1} = (0, b) P_{2} = (1, a + b)

En retningsvektor til linjen er vektoren mellom disse to punktene, siden begge punktene ligger på linjen.

\vec{v} = P_{2} - P_{1} = (1 - 0, (a + b) - b) = (1, a)

Dette viser at $\vec{v} = [1, a]$ er en retningsvektor til linjen $y = a x + b$ , uansett hvilke to punkter vi hadde valgt (stigningen $a$ er den samme overalt på linjen).

Fra a) vet vi at linjene $y = a_{1} \cdot x + b_{1}$ og $y = a_{2} \cdot x + b_{2}$ har retningsvektorene

\vec{v_{1}} = [1, a_{1}] \vec{v_{2}} = [1, a_{2}]

To vektorer står vinkelrett på hverandre hvis og bare hvis skalarproduktet er null. Siden linjene står vinkelrett på hverandre, må retningsvektorene også stå vinkelrett på hverandre, altså $\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = 0$ .

\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = 1 \cdot 1 + a_{1} \cdot a_{2} = 1 + a_{1} \cdot a_{2}

Vi setter skalarproduktet lik null og løser for $a_{1} \cdot a_{2}$ .

1 + a_{1} \cdot a_{2} = 0

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2014, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Vektorer, Stigningstall, Bevis, Skalarprodukt

Retningsvektor og vinkelrette linjer bevis

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Retningsvektor og vinkelrette linjer bevis

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Retningsvektor og vinkelrette linjer bevis

Retningsvektor og vinkelrette linjer bevis

Lov på eksamen

Temaer