Retningsdiagram og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Retningsdiagrammet på figuren tilhører én av differensiallikningene nedenfor.

\begin{matrix} 1) & y^{'} = x + y \\ 2) & y^{'} = \frac{x}{y} \\ 3) & y^{'} = x \cdot y \end{matrix}

Retningsdiagram i et koordinatsystem med x- og y-akse fra -3 til 3.

Avgjør hvilke to av de tre differensiallikningene som ikke kan ha et slikt retningsdiagram.

Løs differensiallikningen du mener retningsdiagrammet tilhører.

Fasit

Likning $1) y^{'} = x + y$ og $2) y^{'} = \frac{x}{y}$ passer ikke. Retningsdiagrammet tilhører $3) y^{'} = x y$ .

$y = C \cdot e^{x^{2} / 2}$ , $C \in ℝ$

LøsningsforslagKI-generert

I retningsdiagrammet er linjestykkene vannrette langs hele $x$ -aksen ( $y = 0$ ) og langs hele $y$ -aksen ( $x = 0$ ).

For $y^{'} = x + y$ : langs $x$ -aksen er $y^{'} = x$ , som ikke er null for $x \neq 0$ . Stigningstallet varierer altså langs aksen og er ikke gjennomgående null. Dette stemmer ikke med diagrammet.

For $y^{'} = \frac{x}{y}$ : uttrykket er ikke definert når $y = 0$ , og for $y$ nær $0$ (og $x \neq 0$ ) blir $| \frac{x}{y} |$ svært stor — retningsdiagrammet ville da vist bratte, nesten loddrette linjestykker nær $x$ -aksen. Diagrammet viser derimot vannrette linjestykker der. Denne likningen passer heller ikke.

For $y^{'} = x y$ : langs $x$ -aksen er $y^{'} = x \cdot 0 = 0$ , og langs $y$ -aksen er $y^{'} = 0 \cdot y = 0$ — vannrett stigningstall langs begge akser, akkurat slik diagrammet viser.

Konklusjon: likning $1)$ og $2)$ kan ikke ha dette retningsdiagrammet. Retningsdiagrammet tilhører

3) y^{'} = x y

Vi løser den separable differensiallikningen $y^{'} = x y$ ved separasjon av variable:

\frac{d y}{d x} = x y

\frac{1}{y} d y = x d x

\int \frac{1}{y} d y = \int x d x

\ln | y | = \frac{x^{2}}{2} + C_{1}

| y | = e^{C_{1}} \cdot e^{x^{2} / 2}

y = C \cdot e^{x^{2} / 2}, C \in ℝ

y = C \cdot e^{x^{2} / 2}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2018, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Utforskning

Retningsdiagram og differensiallikning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Retningsdiagram og differensiallikning

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Retningsdiagram og differensiallikning

Retningsdiagram og differensiallikning

Lov på eksamen

Temaer