Rektangel under kurve og maksimalt areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 4 - 0,125 x^{3}, 0 < x < 2 \sqrt[3]{4}

Graf av f med rektangel OABC der B ligger på grafen

Rektangelet $O A B C$ er laget slik at $B$ ligger på grafen til $f$ .

For hånd

Vis at arealet $G$ til rektangelet kan skrives som

G (x) = 4 x - 0,125 x^{4}

Oppsett for hånd

Bestem $x$ slik at rektangelet får areal lik $5,0$ .

For hånd

Bestem det største arealet rektangelet kan ha.

Fasit

$G (x) = 4 x - 0,125 x^{4}$

$x \approx 1,36$ eller $x \approx 2,53$

$G_{m a k s} = 6$ (ved $x = 2$ )

LøsningsforslagKI-generert

Rektangelet $O A B C$ har hjørnet $O$ i origo, $A = (x, 0)$ på $x$ -aksen, $C = (0, f (x))$ på $y$ -aksen, og $B = (x, f (x))$ på grafen til $f$ .

Sidene i rektangelet er $O A = x$ og $O C = f (x)$ , så arealet blir

G (x) = x \cdot f (x) = x \cdot (4 - 0,125 x^{3}) = 4 x - 0,125 x^{4}

Vi løser likningen $G (x) = 5,0$ i CAS.

CAS-utregning for likning og maksimalt areal

CAS gir

G (x) = 5 \Rightarrow x \approx 1,3555 eller x \approx 2,52965

Begge løsningene ligger innenfor definisjonsmengden $0 < x < 2 \sqrt[3]{4} \approx 3,17$ , så begge er gyldige.

Svar: $x \approx 1,36$ eller $x \approx 2,53$ .

For å finne maksimalt areal deriverer vi og løser $G^{'} (x) = 0$ (se CAS-utklippet over):

G^{'} (x) = 4 - 0,5 x^{3} = 0 \Rightarrow x^{3} = 8 \Rightarrow x = 2

Siden $G^{'} (x) > 0$ for $x < 2$ og $G^{'} (x) < 0$ for $x > 2$ , er $x = 2$ et toppunkt for $G$ . Verdien $x = 2$ ligger i definisjonsmengden, og CAS gir

G (2) = 6

Svar: Det største arealet rektangelet kan ha, er $6$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2015, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Optimering, Derivasjon, Funksjoner, Areal og omkrets

Rektangel under kurve og maksimalt areal

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rektangel under kurve og maksimalt areal

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rektangel under kurve og maksimalt areal

Rektangel under kurve og maksimalt areal

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer