Rektangel under graf

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \frac{8}{x^{2} + 20}

Graf til f med rektangel innskrevet

Rektangelet under grafen har hjørner i punktene $(0, 0)$ , $(5, 0)$ , $(5, f (5))$ og $(0, f (5))$ .

Kalkulator

Bestem arealet av rektangelet.

Kalkulator

Lag en systematisk oversikt som viser arealet av rektanglene som har hjørner i punktene $(0, 0)$ , $(n, 0)$ , $(n, f (n))$ og $(0, f (n))$ for $n \in {1, 2, 3, \dots, 10}$

Krever PC

Bestem $k$ slik at arealet av rektangelet som har hjørner i punktene $(0, 0)$ , $(k, 0)$ , $(k, f (k))$ og $(0, f (k))$ , blir størst mulig.

Fasit

$\frac{8}{9}$

–

$2 \sqrt{5} \approx 4,47$

Løsningsforslag

Rektangelet har bredde $5$ og høyde $f (5)$ .

f (5) = \frac{8}{5^{2} + 20} = \frac{8}{45}

Areal = 5 \cdot \frac{8}{45} = \frac{8}{9}

Arealet er $\frac{8}{9}$ .

Den enkleste måten å lage en systematisk oversikt er med et regneark.

Oversikt over arealer

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Arealet av rektangelet er $A (n) = n \cdot f (n) = \frac{8 n}{n^{2} + 20}$ . Vi regner ut verdien for hver $n$ på kalkulator og fører dem inn i en tabell for hånd:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$A (n)$	0,38	0,67	0,83	0,89	0,89	0,86	0,81	0,76	0,71	0,67

Arealet øker fram til $n = 4$ og $n = 5$ , som begge gir $A \approx 0,89$ , og avtar deretter. Det største arealet ligger altså et sted mellom $n = 4$ og $n = 5$ .

Ut fra oversikten ser det ut til at svaret vil være når bredden er omtrent 4,5. For å bestemme dette eksakt kan vi lage en arealfunksjon:

A (x) = Bredde \cdot Høyde = x \cdot f (x) = x \cdot \frac{8}{x^{2} + 20}

For å finne toppunktet til funksjonen deriverer vi den i CAS og setter den deriverte lik 0.

Finner største areal i CAS

Arealet er størst når $k = 2 \sqrt{5}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Mindre systematiske og mangelfulle oversikter kan gi 1 poeng.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2023, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Derivasjon, Funksjoner, CAS
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Rektangel under graf

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rektangel under graf

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rektangel under graf

Rektangel under graf

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer