Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt II

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

Rektangel ABCD mellom to linjer

Firkanten $A B C D$ er et rektangel. Hjørnene $A$ og $B$ ligger på den positive førsteaksen. Hjørnet $C$ ligger på linja $y_{2} = - x + 6$ . Hjørnet $D$ ligger på linja $y_{1} = x - 1$ . Se figuren.

Vi vil undersøke hvor stort arealet av rektanglet kan bli.

Vi ser først på tilfellet $A (2, 0)$ .

For hånd

Vis at da er $D (2, 1)$ og $C (5, 1)$ .

For hånd

Vis at arealet av rektanglet er lik 3.

Sett førstekoordinaten til punktet $A$ lik $x$ . Arealet av rektanglet er da $F (x)$ .

For hånd

Skriv av tabellen i besvarelsen din. Fyll ut tabellen.

Tabell for F(x)

For hånd

Arealet er en funksjon på formen $F (x) = a x^{2} + b x + c$ . Bestem konstantene $a$ , $b$ og $c$ . Finn det største arealet til rektanglet og den tilhørende verdien av $x$ . Bestem koordinatene til alle hjørnene for den $x$ -verdien som gir størst areal.

Fasit

$D (2, 1)$ og $C (5, 1)$

$Areal = 3$

$F (1,5) = 2$ , $F (2,0) = 3$ , $F (2,5) = 3$ , $F (3,0) = 2$

$a = - 2$ , $b = 9$ , $c = - 7$ . Størst areal $F (\frac{9}{4}) = \frac{25}{8} = 3,125$ ved $x = \frac{9}{4}$ . Hjørner: $A (\frac{9}{4}, 0)$ , $B (\frac{19}{4}, 0)$ , $C (\frac{19}{4}, \frac{5}{4})$ , $D (\frac{9}{4}, \frac{5}{4})$ .

LøsningsforslagKI-generert

Punktet $D$ ligger på linja $y_{1} = x - 1$ rett over $A$ , altså har $D$ samme førstekoordinat som $A$ . Med $A (2, 0)$ får vi

y_{D} = 2 - 1 = 1 \Rightarrow D (2, 1)

Punktet $C$ ligger på linja $y_{2} = - x + 6$ , og siden $A B C D$ er et rektangel må $C$ ha samme andrekoordinat som $D$ , altså $y_{C} = 1$ . Da er

1 = - x_{C} + 6 \Rightarrow x_{C} = 5 \Rightarrow C (5, 1)

Rektangelet $A B C D$ har bredde lik $x_{C} - x_{A} = 5 - 2 = 3$ og høyde lik $y_{D} = 1$ . Arealet blir da

Areal = 3 \cdot 1 = 3

som var det vi skulle vise.

Vi bruker samme fremgangsmåte som i a) og b), men med $A (x, 0)$ generelt. Da er $D (x, x - 1)$ , og siden $D$ og $C$ har samme andrekoordinat, gir dette $C (7 - x, x - 1)$ . Bredden av rektangelet er $(7 - x) - x = 7 - 2 x$ , og høyden er $x - 1$ , slik at

F (x) = (7 - 2 x) (x - 1)

Vi setter inn $x$ -verdiene fra tabellen:

F (1,5) = (7 - 3) (1,5 - 1) = 4 \cdot 0,5 = 2

F (2,5) = (7 - 5) (2,5 - 1) = 2 \cdot 1,5 = 3

F (3,0) = (7 - 6) (3,0 - 1) = 1 \cdot 2 = 2

(og $F (2,0) = 3$ er allerede kjent fra b)). Tabellen blir dermed:

$x$	$1,5$	$2,0$	$2,5$	$3,0$
$F (x)$	$2,0$	$3,0$	$3,0$	$2,0$

Vi ganger ut uttrykket for $F (x)$ fra c):

F (x) = (7 - 2 x) (x - 1) = 7 x - 7 - 2 x^{2} + 2 x = - 2 x^{2} + 9 x + (- 7)

Vi ser at $a = - 2$ , $b = 9$ og $c = - 7$ , som stemmer med tabellverdiene i c) (for eksempel $F (2) = - 2 \cdot 4 + 18 - 7 = 3$ ).

Vi finner maksimum ved å derivere og sette den deriverte lik null, siden dette er en andregradsfunksjon med $a < 0$ og dermed et toppunkt:

F^{'} (x) = - 4 x + 9

F^{'} (x) = 0 \Rightarrow - 4 x + 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{4}

Dette er bekreftet med CAS i GeoGebra, se utklippet under.

CAS-utregning av F(x), tabellverdier og maksimum

Det største arealet er

F (\frac{9}{4}) = - 2 \cdot {(\frac{9}{4})}^{2} + 9 \cdot \frac{9}{4} - 7 = - \frac{81}{8} + \frac{81}{4} - 7 = \frac{81}{8} - 7 = \frac{25}{8} = 3,125

Vi finner koordinatene til hjørnene ved $x = \frac{9}{4}$ :

A (\frac{9}{4}, 0), D (\frac{9}{4}, \frac{9}{4} - 1) = D (\frac{9}{4}, \frac{5}{4})

C (7 - \frac{9}{4}, \frac{5}{4}) = C (\frac{19}{4}, \frac{5}{4}), B (\frac{19}{4}, 0)

Det største arealet er $F (\frac{9}{4}) = \frac{25}{8} = 3,125$ , og dette skjer når $x = \frac{9}{4}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2008, del 2, oppgave 4-II
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Optimering, Andregradsfunksjon, Lineære funksjoner, Areal og omkrets

Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt II

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt II

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt II

Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt II

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer